lim>n→∞(1 + 1/n)>n
и о сумме бесконечного ряда:
e = 1 + 1/1 + 1/(1·2) + 1/(1·2·3) + 1/(1·2·3·4 + ...)
Тем не менее только в уже упомянутом "Введении..." Эйлер углубил и развил свои идеи относительно е и даже вычислил первые 26 цифр:
е = 2,71828182845904523536028747...
Почему Эйлер выбрал именно букву е, неизвестно. Существует мнение, что выбор пал на нее, поскольку это первая буква его собственного имени или слова "экспонента", но это всего лишь догадка.
— i: на протяжении большей части своей жизни Эйлер, не обладая строгим и правильным определением предела, записывал как
ex = (1 + x/i)>i,
то, что сегодня мы бы записали как
e>x = lim>n→∞(1 + x/n)>n.
В этом примере буква i символизирует бесконечное число. Но в 1777 году ученый передумал и стал использовать ее для обозначения мнимой единицы (комплексного числа). Статья 1777 года была опубликована только в 1794 году, но Гаусс, а с ним и все математическое сообщество, сразу же начали использовать i. Эта буква была выбрана как первая в немецком слове "мнимый".
— у = ƒ(x): Эйлер стал первым ученым, использовавшим современное понятие функции, связав заданное значение х с получившимся значением у посредством соотношения, названного ƒ. Область определения и значений ƒ были четко обозначены. Функция появляется уже в 1734-1735 годах в Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae — первом журнале Петербургской академии наук. И хотя современное понятие функции немного отличается от того, которое имел в виду Эйлер, нельзя не признать, что он сделал огромный шаг вперед в том, что касается ясности определений и описания.
— Σ (сигма): Эйлер выбрал эту букву для обозначения суммы последовательности чисел, подчиняющейся какому-либо правилу, которое записывается над или под символом. В общем случае сумма элементов х, где i — "счетчик" слагаемых, идущих от m до n, записывается так:
Σ>i=m>nx>i = x>m + x>m+1 + x>m+2 + ... + x>n-1 + x>n.
Сигма — греческий аналог буквы "с", с которой начинается слово "сумма", поэтому ее использование кажется вполне логичным. В течение жизни Эйлер вычислил сотни таких последовательностей, многие из которых были бесконечными. При n = ∞ последовательность называется рядом. Возможно, самая знаменитая в своей простоте последовательность Эйлера — это последовательность из Базельской задачи, которую он вычислил в 1735 году, на пике своего математического творчества (мы поговорим о ней подробней в следующей главе):
Σ>n=1>∞
