Математическая планета. Путешествие вокруг света | страница 50

Циркуль указывает расстояние между двумя соответствующими точками пропорциональных кривых.

Циркуль указывает такое же расстояние между двумя другими точками пропорциональных кривых.

Обход кривых, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга, при помощи циркуля.

Пропорциональны ли две параллельные кривые? Параллельны ли две пропорциональные кривые?

В случае с ломаными линиями понятия параллельности и пропорциональности эквивалентны, так как любая ломаная есть часть многоугольника, а стороны подобных многоугольников параллельны. Это же верно и для дуг окружности. В таких случаях мысленное представление параллельных и пропорциональных кривых одинаково. Впрочем, если мы рассмотрим предельный случай, то заметим, что интуитивные представления о параллелизме и пропорциональности отличаются. К примеру, две следующие кривые параллельны в том смысле, что перпендикуляр, проведенный к первой из них в любой ее точке, будет перпендикуляром и ко второй, а часть этого перпендикуляра, заключенная между кривыми, всегда будет иметь одинаковую длину — иными словами, эти кривые располагаются на одинаковом расстоянии друг от друга. Но ни одна из них не является уменьшенной или увеличенной копией другой, как в случае с пропорциональными кривыми.

Кривая, параллельная данной, не сохраняет углы исходной кривой.

На следующем рисунке можно четко увидеть, чем отличается исходная кривая или ломаная от линии, параллельной ей и расположенной на определенном расстоянии. Существуют две траектории, или кривые, параллельные углу прямоугольника, — внешняя и внутренняя. На внешней траектории угол исчезает, на внутренней образуется петля.

Внутренняя и внешняя параллели углу прямоугольника.

Продолжение описанной выше задачи можно увидеть в решетке церкви Сан-Феликс в городе Сабадель: в каждую из четырех внутренних окружностей вписано еще по четыре окружности.

Фрагмент розы в церкви Сан-Феликс в городе Сабадель в провинции Барселона.

Вы видите окружность, в которую вписаны четыре окружности меньшего размера, касающиеся друг друга. Их центры определяют квадрат. В каждую из четырех окружностей вписано еще четыре окружности по такой же схеме. Если мы продолжим неограниченно вписывать окружности по этому правилу, получим последовательность. Общее число окружностей в этой последовательности, С(n), будет определяться как сумма степеней 4:

C(n) = 1 + 4 + 4^>2 + 4^>3 +… + 4^>n = (4^>n+1- 1)/3

Однако мастеров интересовало не столько число окружностей, сколько соотношение между их радиусами. Если мы обозначим через