Математическая планета. Путешествие вокруг света | страница 48
а = 2pq
b = p>2 — q>2
c = p>2 + q>2.
Значение а очень похоже на ответ к предыдущей геометрической задаче. Чтобы значение а было ответом к предыдущей задаче, необходимо, чтобы квадратные корни радиусов R и r были целыми числами. Допустим, что это в самом деле так: R = р>2, r = q>2. Предположим, что разность R — r равна другому целому числу, s.
Тогда следующая тройка чисел будет примитивной пифагоровой тройкой:
2pq = d
р>2 — q>2 = R — r
p>2 + q>2 = R + r.
Таким образом, алгебраическая задача о пифагоровых тройках эквивалентна геометрической. По всей видимости, таков традиционный японский метод определения примитивных пифагоровых троек. Наконец, еще в одной задаче требуется найти все примитивные пифагоровы тройки для радиуса r <= 41. Решения этой задачи таковы:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (12, 35, 37), (20, 21, 29), (9, 40, 41).
Если мы построим между двумя описанными выше окружностями еще одну, то получим интересную задачу — она приводится в сайгаку 1873 года, подвешенной на алтаре Катаямахико в префектуре Окаяма. Каким отношением связаны радиусы трех окружностей, касающихся друг друга и прямой, на которую они опираются?
И вновь к решению нас приведет теорема Пифагора. Пусть радиусы окружностей удовлетворяют соотношению r>1 > r>2 > r>3 которое мы узнаем, применив теорему Пифагора. Для этого выделим треугольник, образованный вершинами окружностей и радиусами, которые проведены к общей касательной к окружностям.
Мы получим новые прямоугольные треугольники, в которых можно применить теорему Пифагора. Обозначив через d>1 и d>2 основания прямоугольных треугольников с гипотенузами r>1 + r>3 и r>2+ r>3 получим:
(r>1+ r>2)>2 = (r>1 — r>2)>2 + (d>1 + d>2)>2
(r>1+ r>3)>2 = (r>1 — r>3)>2 + d>1>2
(r>2 + r>3)>2 = d>2>2 + (r>2 — r>3)>2
Выразив d>1и d>2 из второго и третьего равенства и подставив полученные выражения в первое равенство, имеем:
Полученное соотношение является двойственным к теореме Пифагора, что можно заметить, записав квадратные корни как степени с дробным показателем:
Как найти значения трех радиусов, удовлетворяющих этому соотношению?
Имеет ли задача тройки целых или рациональных решений? Если мы рассмотрим числа, обратные квадратам натуральных чисел, то получим окружности, обладающие следующими свойствами:
Они будут иметь вид, представленный на рисунке.
Соприкасающиеся окружности стали источником вдохновения не только для средневековых японских монахов и самураев, но и для архитекторов европейских готических соборов. Эта композиция, в которой главная роль отведена кругу, представляет собой символ христианства той эпохи. Важнейший элемент художественной выразительности в готике — роза и различные решетки. Их узоры представляют собой огромный круг диаметром несколько метров, в который вписаны другие круги и ряды окружностей. В большинстве случаев все эти фигуры соприкасаются между собой, а также касаются большого круга. Роза в церкви Санта-Мария-дель-Пи в Барселоне составлена из кругов, куда вписаны четыре соприкасающихся круга, которые также касаются круга, описанного вокруг них.
