и
B, то алгебраическое соотношение
A × B = 1/4 × {(A + B)>2 – (A – B)>2}
заменяет умножение вычитанием двух квадратов. Хотя такие алгебраические обозначения появились только в IX веке, вавилоняне понимали связь между квадратами и произведениями, которая позволяла им пользоваться шорткатом к вычислению произведения A и B. Вместо вычисления квадратов их можно было просто найти в одной из таблиц квадратов, предварительно рассчитанных писцами.
Непер описал найденный им шорткат в книге под названием «Описание чудодейственной таблицы логарифмов» (Mirifici logarithmorum canonis descriptio, 1614). Читателям этой книги те идеи, которые она распространяла, и впрямь казались настоящим чудом. Оксфордский математик Генри Бригс, бывший первым профессором престижной кафедры геометрии, учрежденной Генри Савилем в Новом колледже, в котором профессорствую и я, был настолько поражен могуществом логарифмов Непера, что предпринял четырехдневное путешествие к Неперу в Шотландию. Он писал: «Я никогда не видел книги, которая доставила бы мне большее удовольствие или большее удивление».
На протяжении многих столетий эти таблицы давали естествоиспытателям и математикам шорткаты к сложным вычислениям. 200 лет спустя великий французский математик и астроном Пьер-Симон Лаплас заявил, что логарифмы «сокращают тяжелые труды, удваивая жизнь астронома и избавляя его от ошибок и отвращения, неотделимых от долгих вычислений».
В этой фразе Лаплас выражает важнейшее качество хорошего шортката: он освобождает разум, позволяя прилагать свои силы к более интересным предприятиям. Но истинную свободу от рутины вычислений ученые обрели лишь с появлением вычислительных машин.
Механические калькуляторы
Одним из первых могущество машин в качестве шортката к вычислениям осознал великий математик XVII века Готфрид Лейбниц: «Недостойно превосходных мужей тратить часы на рабский труд вычислений, который без опаски можно было бы поручить любому другому, если бы использовались машины».
Идея машины, которую Лейбниц в конце концов построил, возникла у него при знакомстве с шагомером. «Когда я увидел прибор, с помощью которого можно подсчитывать шаги, не думая об этом, мне немедленно пришло в голову, что и все арифметические операции могут быть выполнены посредством подобного рода устройства».
Шагомер был основан на чрезвычайно простой идее: когда шестерня с десятью зубьями проходит полный оборот, она поворачивает на одно деление другую, соединенную с ней шестерню, которая отсчитывает десятки шагов. Позиционная система счисления на основе шестеренок. Вычислительная машина Лейбница, которую он назвал «пошаговым арифмометром», умела складывать, умножать и даже делить. Но физическое воплощение его идей оказалось делом трудным. «Если бы только мастер мог исполнить прибор так же, как я задумал его модель», – писал он.
