r| 2 —\ \ d FI \ —- dr = FI (r|) — FI (r|). \ dr 1 2
\ \- r| 1
Существенно, что в рамках электростатики осуществляется глобальное (а не локальное) калибровочное преобразование. Отсюда можно вывести важное следствие: если потенциал нашей системы представляется некоторой функцией FI(r), то калибровочное преобразование (изменение потенциала в каждой точке на постоянную величине b) не изменяет основного свойства пространства: изотропию и однородность. Поскольку наша система относительно тела отсчета была сферически-симметричной, то, следовательно, все наблюдаемые физические величины (энергия, сила, действующая на пробное тело) также должны характеризоваться сферической симметрией.
Таким образом, величины grad FI или FI(x|) — FI(x|)
1 2 определяют наблюдаемые физические величины. Отсюда следует, что работа, произведенная калибровочным полем, однозначно определяется разностью FI(x|) — FI(x|) и не зависит от пути,
1 2 по которому двигалась пробная частица. Тогда можно показать, что число силовых линий статического калибровочного поля остается неизменным в пространстве (во времени оно неизменно вследствие условия статичности). Действительно, существуют две возможности изменения числа силовых линий: 1) их «обрыв» на границе некоторой пространственной области и 2) пересечение, «взаимодействие» силовых линий в некоторых точках x|, x|…. ≠ x|, x|. Обе возможности противоречат
3 4 1 2 следствию о независимости работы от пути, проходимого частицей. Действительно, рассмотрим первое допущение. Работа, производимая при переносе тела из точки x| до
1 границы области, зависит от точки границы x|, а работа,
k производимая при переносе тела из точки x| в точку x|, равна
k 2 нулю. Следовательно, суммарная работа зависит от пути, что противоречит основному постулату.
Если же силовые линии пересекаются, то силы, действующие на пробную частицу, зависят от конкретной формы пересечения силовых линий в некоторых точках x|…, x|.
1 k Это должно также привести к зависимости работы от пути. Следовательно, число силовых линий калибровочного поля (FI' — > FI+b) точечного источника в статическом случае взаимодействия в том смысле, который указан в разд.3 этой главы. Для такого случая выполняется закон F~1/r**2.
Вывод о неизменности числа силовых линий можно получить из калибровочной инвариантности и несколько иным путем. Поместим в начало отсчета две заряженные частицы, обладающие зарядами e| и e|, характеризующими их силовые поля.
