g p
Перейдем далее к определению общности свойств функций, описывающих состояние систем. Разумеется, речь идет о фундаментальных свойствах, общих для всех систем достаточно широкого класса (например, материальных точек).
На математическом языке это означает, что уравнения, определяющие изменение функций состояния во времени, инвариантны относительно определенных групповых преобразований.` Простейшим примером такой инвариантности является трансляционная инвариантность. Простейшим примером такой инвариантности является трансляционная инвариантность уравнений Ньютона. Ни уравнения, ни физическое состояние системы не меняются при замене x' — > x+a, где a — некое постоянное число. Можно привести и другой пример групповой инвариантности. Рассмотренное ранее в гл.1 вращение системы координат также оставляет уравнения механики инвариантными. Группа, соответствующая вращению N-мерной сферы, называется группой вращения. Можно сказать, что уравнения механики (впрочем, это относится также и к электродинамике, хромодинамике и ко всем взаимодействиям, кроме гравитационного) инвариантны относительно преобразований группы трехмерных вращений, что отвечает изотропии трехмерного пространства Евклида.[9]
Однако основная идея объединения взаимодействий относится не к макроскопическому пространству Евклида, а к «внутреннему» пространству элементарных частиц, отражающему их квантовые числа (см. Дополнение). Это пространство проще всего отождествить с расслоенным пространством, где база пространство Минковского, а пространства, соответствующие квантовым числам элементарных частиц (спину, изотопическому спину и цвету — см. Дополнение), являются слоями. Слои можно представить как сферы, «прикрепленные» к каждой точке базы. Векторы состояний вращаются внутри сфер-слоев в соответствии с правилами квантовой механики.
Вообще говоря, нет априорных правил выбора этих слоев, и в частности их размерности. Видимое отсутствие этих правил отражает известный произвол в выборе квантовых чисел частиц — переносчиков взаимодействия. Поэтому на первый взгляд выбор этих квантовых чисел и масс частиц-переносчиков является лотереей, в которой выигрыш — счастливая случайность. Такой подход можно назвать феноменологических в том смысле, что в нем отсутствует руководящий принцип, ограничивающий выбор частиц-переносчиков. Однако сейчас господствует убеждение, что такой принцип существует. Это принцип калибровочной инвариантности, и его изложению и геометрической интерпретации будет посвящена значительная часть книги.
