и размерность подобия связаны следующей простой формулой:
D>s = 1 +
d. Это означает, что размерность подобия можно вычислить двумя способами. Первый основан на геометрических свойствах фигуры, в нем фигурирует число частей структуры, подобных всей структуре в целом, и коэффициент уменьшения. Этот способ мы уже неоднократно использовали. Второй способ заключается в измерении расстояний с помощью циркуля.
Заметим, что размерность, вычисленная по алгоритму Ричардсона, является обобщением размерности подобия (они отличаются на единицу). Иными словами, мы можем вычислить фрактальную размерность для кривых, которые не обладают свойством самоподобия, например для берегов или границ. Но как можно вычислить размерность объектов, которые напоминают по форме пятно, губку или облако? В этих случаях циркуль нам не поможет. Расчет фрактальной размерности объекта может оказаться трудной задачей. Существует множество фракталов, размерность которых до сих пор не удалось рассчитать.
В этом случае нужно использовать размерность Минковского-Булигана. Она также известна как размерность Минковского, или грубая размерность. Она широко применяется в науке, так как ее можно очень просто рассчитать с помощью компьютера. Она также схожа с топологической размерностью и размерностью подобия.
Рассмотрим, почему это так. Проанализируем покрытие объекта, для которого мы хотим вычислить размерность. Если этот объект находится на плоскости, будем использовать для покрытия круги сравнительно малого радиуса. Если же объект находится в пространстве, будем использовать сферы. Это схоже с топологической размерностью Лебега, определенной посредством покрытий. Чтобы мы могли использовать общее обозначение для отрезков прямой, кругов на плоскости и сфер в пространстве, будем говорить о «шариках» радиуса эпсилон (ε). Будем обозначать N (ε) число шариков радиуса ε. Вычислим натуральный логарифм от этого числа и разделим его на log (1/ε), что, в свою очередь, отсылает к определению размерности подобия. Вспомним, что, применяя последнюю формулу к различным коэффициентам уменьшения, мы всегда получали один и тот же результат. Для объектов, которые не обладают свойством самоподобия (именно такие объекты мы сейчас рассматриваем), это не так. Определим размерность Минковского D>m как
D>M = lim>e->>0 (log N(ε) / log (1/ε)).
Иными словами, размерность Минковского равна значению выражения log N (ε) / log (1/ε), когда ε стремится к 0.
