Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 49

Первые итерации построения треугольника Серпинского

Если мы перейдем к трем измерениям и обобщим построение канторова множества для куба, получим еще один удивительный объект — губку Менгера, названную в честь австрийского математика Карла Менгера, который открыл эту фигуру в 1926 г., когда занимался изучением топологической размерности. Это также универсальная кривая, но уже в трехмерном пространстве. Она имеет размерность подобия, равную log 20/log 3 ~ 2,7268, так как ее можно получить из 20 кубиков, каждый из которых в три раза меньше всей фигуры.

Скульптурное изображение губки Менгера.

«Близким родственником» этой кривой является тетраэдр Серпинского, который строится путем удаления центрального из пяти одинаковых тетраэдров. Он имеет чуть меньшую размерность подобия, нежели губка Менгера: log 4 / log 2 = 2.

Тетраэдр Серпинского.

Теперь, когда мы знаем, как вычисляется размерность подобия, попробуем связать ее с показателем степени, который фигурирует в законе Ричардсона, описывающем измерение границ и береговых линий. Представим, что мы хотим найти формулу Ричардсона для берега воображаемого острова, который имеет форму снежинки Коха. Этот остров (назовем его остров Коха) образован тремя одинаковыми кривыми, каждая из которых состоит из четырех самоподобных частей; коэффициент уменьшения равен 1/3. Следовательно, будет разумным выбрать для измерения длины берега раствор циркуля, равный 1/3, 1/9, 1/27 и так далее. Измерим один из трех берегов острова. Начнем с раствора циркуля, равного 1/3. Допустим, что длина стороны исходного треугольника равна единице. Первое приближенное значение длины берега будет равно 4/3. Выбрав раствор циркуля, равный 1/9, получим значение длины 16/9. Выполнив аналогичные расчеты, получим, что для раствора циркуля s = 1/3^>k имеем l = (4/3)^>k.

Представим полученные значения на логарифмической шкале. Мы можем выбрать любое основание логарифма. Будем использовать логарифмы по основанию 3 — это упростит вычисления, так как коэффициент уменьшения равен 1/3. Вспомним, что уравнение прямой, найденное Ричардсоном, имеет вид log_>3 l = d∙log_>3 (1/s). Если мы подставим в нее значения, вычисленные для стороны острова, получим log_>3 (4/3)^>k = d∙log_>33^>h. Упростив, получим d = log_>3 (4/3) = 0,2619.

Вспомним, что размерность подобия для снежинки Коха равнялась D_>s = 1,2629. Как видим, дробные части этих чисел совпадают. Можно показать, что для объекта, обладающего самоподобием, наклон прямой Ричардсона