Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 42
После бесконечного числа итераций кривая Пеано примет форму квадрата.
Однако сам Пеано нашел лишь аналитическое построение, но не определил этот итеративный процесс и также не смог изобразить эту кривую графически (однако он привел рисунок в виде перевернутой восьмерки, чтобы показать непрерывность найденной им кривой). Пеано просто показал, как именно график найденной им функции будет постепенно заполнять квадрат. Другие математики в попытках графически представить абстрактную функцию, описанную Пеано, предложили итеративный алгоритм ее построения, показанный на рисунках выше, а также на следующем рисунке:
Как следствие, мы не знаем, какую именно из этих кривых можно назвать собственно кривой Пеано. Обе они в пределе образуют одну и ту же фигуру — квадрат.
В статье Пеано, которая была опубликована в 1890 г., впервые описывалась кривая, покрывающая плоскость.
Также существуют варианты кривой Пеано, которые не покрывают плоскость. Одну из них можно получить аналогичным преобразованием исходных девяти отрезков с тем отличием, что вертикальные линии будут короче горизонтальных.
Еще одну кривую подобного вида можно получить, если удалить центральный отрезок. Эта кривая обладает интересным свойством: ее график является непрерывным, но функция, которая определяет эту кривую, непрерывной не является.
МУЗЫКА И МАТЕМАТИКА
Идея о том, что одномерный объект может целиком покрывать плоскость, легла в основу музыкальных композиций. Например, скрипач Скоп Джон сочинил 11-минутную композицию для контрабаса и английского рожка, в первой части которой два инструмента целиком заполняют ритмическое и тональное пространство. Когда начинает появляться новая тональность, один из двух инструментов немедленно переходит в другую тональность. В результате образуется своеобразное противостояние между длинными выразительными и быстрыми энергичными фразами. Во второй части оба исполнителя выдерживают единообразие формы и стиля. Неясные тональности первой части становятся более четкими. Если мы рассмотрим партитуру в различных масштабах, то заметим обилие схожих частей.
Еще до того, как появились графические изображения кривой Пеано, Давид Гильберт открыл другую кривую, которая также покрывает плоскость. Базовый принцип, лежащий в основе кривой Гильберта, слегка отличается от принципа кривой Пеано: используется не единственный шаблон, а несколько, и к каждому из них применяются различные правила. Подобные построения называются нестандартными.
