Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 33
Диск Пуанкаре является частью важного ряда моделей геометрии Лобачевского, так как в реальном трехмерном пространстве (на языке математики оно обозначается
Модель, описанная Пуанкаре, — это круг, метрика которого отличается от метрики евклидовой плоскости. Метрика диска Пуанкаре такова, что все уменьшается в размерах по мере приближения к границе круга[15]. Как следствие, человек, живущий в мире Пуанкаре, никогда не сможет попасть на «край света».
ОБИТАТЕЛИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО МИРА
Понимают ли существа, обитающие в мире Пуанкаре, в каком пространстве они живут? Представим, что один из обитателей этого мира измерил длину свой ладони, которая оказалась равной 20 см. Затем он начинает идти в сторону края круга и спустя некоторое время снова измеряет длину ладони. Для нас его ладонь уменьшится в размерах, а для него длина ладони будет по-прежнему равна 20 см, так как расстояние между делениями линейки тоже уменьшится. Измерения относительны: для нас, сторонних наблюдателей, его ладонь уменьшится в размерах, для жителя этой плоскости ее длина не изменится. Аналогично для нас его мир ограничен, а для него — безграничен, так как он никогда не сможет достичь его края. Как обитатель этого мира может понять, что живет на гиперболической плоскости? Один из возможных способов — найти сумму углов произвольного треугольника, которая будет меньше 180°. Треугольник должен быть достаточно большим, чтобы на результат не повлияла погрешность измерений, так как с увеличением размеров треугольника сумма его углов будет уменьшаться. Еще один способ — провести окружность радиуса r и убедиться, что ее длина превышает 2πr (поэтому плоскость и называется гиперболической). Однако в этом случае радиус окружности также должен быть достаточно большим.
* * *
В серии работ «Предел — круг» Эшер попытался изобразить эту метрику и свойство прямых в гиперболической геометрии, в то же время дав собственную трактовку бесконечности как вселенной в капле воды. Схемы замощения могут отличаться: представленная на рисунке схема, которую использовал в своей работе
Пуанкаре, состоит из семиугольников. Каждая вершина семиугольника является общей еще для двух семиугольников. Особенный интерес представляет картина Зшера «Ангелы и демоны», на которой пятиугольники, в которых все углы «прямые», каждой вершиной соединяются еще с тремя.
