Возможно, самой известной из подобных задач является гипотеза, предложенная Кеплером. Она гласит, что оптимальной укладкой пушечных ядер (такой, при которой они занимают минимально возможный объем) является пирамида, подобная тем, что выстраивают на прилавках торговцы фруктами. Эта на первый взгляд простая гипотеза была полностью доказана лишь в 2005 г. с помощью компьютера. Большая часть задач об упаковке берет начало в физике и биологии, применяется множеством способов в кристаллографии, при изучении структуры аморфных материалов и коллоидных растворов. Даже задача об оптимальной передаче цифровых сигналов может быть изложена как вариант задачи об упаковке сфер — так называемой задаче о контактном числе.
Во втором случае Лейбниц сказал, что капля воды содержит целую вселенную, которая, в свою очередь, также содержит более мелкие капли воды, каждая из которых вновь содержит в себе вселенную и так далее. Однако эта идея и многие другие, схожие с ней, со временем были отвергнуты, так как их нельзя было подтвердить экспериментально. Сегодня мы можем констатировать, что подобные рассуждения не столь нелепы, как может показаться. Было высказано множество идей о схожести модели атома Нильса Бора, где вокруг ядра по орбитам вращаются электроны, с законами вращения планет Кеплера. Здесь также прослеживается связь между микрокосмосом и макрокосмосом. Хотя нам известно, что эти модели совпадают не полностью, не стоит быть уверенным в том, что современные модели наилучшим образом отражают реальность. Возможно, что идеальной модели не существует, и мы будем вынуждены вечно довольствоваться лишь все более и более точными приближенными моделями.
Оставим в стороне эти метафизические вопросы и добавим, что сегодня известно множество объектов, которые содержат сами себя. Некоторые были описаны в теории, другие встречаются в природе. Самоподобием обладает множество событий и явлений, что будет показано в следующих главах. Хотя обнаружить самоподобные предметы несложно, практически не существует автоматизированной процедуры генерации рекурсивных функций, которые бы описывали подобные предметы.
Вселенная внутри круга
Тот факт, что самоподобие и рекурсивные или итеративные события столь тесно связаны, может вызвать в нас странное чувство. Его попробовал выразить американский художник Дуэйн Майкл в своей серии фотографий Things are Queer («Странные вещи»). Человеческий разум притягивают бесконечные процессы. Они толкают нас на эксперименты с бесконечностью — недостижимой и влекущей. Возможно, подсознательно, а быть может, и нет, в этих поисках художники предлагают нашему вниманию столько же, сколько и ученые.
