Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия | страница 14

Формальные принципы и основы проективной геометрии создал Жерар Дезарг (1591–1661). Этот французский математик заметил, что круг в перспективе выглядит как эллипс, а тень, которую отбрасывает на стену круглый предмет, может принимать форму круга, эллипса, параболы или ветви гиперболы в зависимости от угла наклона предмета. (Четыре упомянутые кривые — окружность, эллипс, парабола и гипербола — называются коническими сечениями.) Это означает, что проекция предмета (в нашем примере это тень) преобразует одну фигуру в другую[9].

На основе этих наблюдений Дезарг ввел два новых понятия: бесконечно удаленную точку, называемую также несобственной точкой, и бесконечно удаленную прямую, также называемую несобственной прямой. На плоскости существует бесконечно много несобственных точек, каждой из которых соответствует свое направление. Все такие точки образуют бесконечно удаленную прямую. Аналогично в пространстве существует бесконечно много несобственных прямых, которые в совокупности образуют бесконечно удаленную плоскость. Согласно модели Дезарга, две параллельные прямые пересекаются в бесконечно удаленной точке — несобственной точке, определяемой углом наклона прямой. Иными словами, каждому углу наклона можно поставить в соответствие бесконечно удаленную точку.

Аналогично пересечением двух параллельных плоскостей будет бесконечно удаленная, то есть несобственная прямая. Следовательно, можно сказать, что две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда имеют общую точку (собственную или несобственную), а две плоскости пространства всегда имеют общую прямую (собственную или несобственную). Парабола будет эллипсом с несобственной точкой, гипербола — эллипсом, но уже с двумя несобственными точками. Отсюда следует принцип двойственности, который выполняется для всех теорем, устанавливающих отношение между точками и прямыми. В соответствии с этим принципом если в теореме проективной геометрии мы заменим слово «точка» на «плоскость», а слова «проходит через» — на «пересекаются в», то полученная теорема также будет верной. Благодаря этому принципу теорема «через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую» имеет парную теорему: «Две несовпадающие прямые пересекаются на единственной плоскости».

Согласно новым принципам, разработанным Дезаргом, конические сечения отличаются друг от друга лишь числом несобственных точек.