Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 71
Девятый, 89
89 пар; к ним мы снова добавим пятьдесят пять пар, родившихся в десятом месяце, и получится
Десятый, 144
144 пары в этом месяце; мы снова добавим восемьдесят девять пар, родившихся в одиннадцатом месяце, так что у нас будет
Одиннадцатый, 233
233 пары в этом месяце. К ним мы добавим сто сорок четыре пары, родившихся в последнем месяце. К концу года пара, с которой мы начали, произведет на свет
Двенадцатый, 377
377 пар кроликов.
Как видно из пометок на полях, метод, который мы использовали, заключается в следующем: мы добавляли первое число ко второму, то есть 1 к 2, а второе к третьему, третье к четвертому, четвертое к пятому и так далее, одно за другим, наконец, мы добавили десятое к одиннадцатому, то есть 144 к 233, и получили количество кроликов, указанное выше, то есть 377, которое может продолжать увеличиваться для бесконечного числа месяцев.
Ряд чисел, представленный в этой задаче, и отношение, с которым он растет, впоследствии был назван «последовательностью Фибоначчи», хотя автор не знал, что она будет носить его имя, поскольку он, вероятно, получил это прозвище много столетий спустя. В самом деле, например, Кеплер упоминает «числа Пизанского» в работе, опубликованной в 1611 г. и описывающей их отношения сложным образом: «как 5 относится к 8, а 8 к 13, а 13 к 21».
Более ста лет спустя Жак Бине (1786–1856) вывел формулу для нахождения любого числа в последовательности Фибоначчи по его индексу. По формуле Бине мы можем найти, например, сто восемнадцатое число в последовательности Фибоначчи, не вычисляя предыдущих чисел. Вывод формулы Бине довольно сложен, поэтому мы расскажем о нем кратко, а затем дадим пример применения формулы.
Последовательность Фибоначчи определена рекуррентно, то есть мы должны вычислить несколько предшествующих членов, чтобы найти тот или иной член. Если числа Фибоначчи определяются по формулам
F>0 = 0
F>1 = 1
F>n = F>n-1 + F>n-2 для n = 2, 3, 4, 5
то эти уравнения определяют рекуррентное соотношение:
F>n+2 — F>n+1 — F>n = 0.
Заинтересованный читатель может обратиться к основному тексту книги, где шаг за шагом это соотношение приводится к отношению F>n+1/F>n, предел которого называется Ф, или золотой пропорцией. Там же появляется выражение
Ф = (1 + √5)/2,
которое является отправным пунктом последующих арифметических преобразований. Бине пришел к формуле
довольно трудоемким способом, который мы не будем здесь приводить.
Подставляя значение Ф в формулу
