Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 32
При проведении диагоналей в правильном пятиугольнике получается еще один правильный пятиугольник в центре, окруженный «золотыми» треугольниками. Кроме того, лучи звезды также являются «золотыми» треугольниками.
С помощью «золотого» треугольника можно построить правильный пятиугольник, используя только циркуль и линейку. Возьмем отрезок длиной 1, который разделим в золотой пропорции (как в предыдущей главе), выделив часть длиной х. Затем мы построим «золотой» треугольник со сторонами х и 1. Проведем окружность радиуса 1 с центром в вершине угла 36° (который лежит напротив стороны х). Десятиугольник, вписанный в окружность, имеет стороны длины х. После того как мы построили десятиугольник, мы соединим его вершины через одну. Таким образом, мы построим правильный пятиугольник.
Тот же метод может быть использован для построения правильного десятиугольника. Геометры Древней Греции таким образом упражнялись, демонстрируя математические возможности золотого сечения.
При таком построении стороны «золотого» треугольника равны стороне правильного десятиугольника, вписанного в круг, и радиусу этого круга.
В предыдущей главе мы выяснили, что с помощью «золотого» прямоугольника можно получить логарифмическую спираль, но ее можно также построить, взяв «золотой» треугольник ABC с углами 36°, 72° и 72° (в котором АВ/ВС = Ф). Если разделить угол В пополам, мы получим два треугольника: DAB и BCD. Первый имеет углы 36°, 36° и 108°, поэтому является «золотым» треугольником.
Второй, BCD, подобен исходному, так что тоже является «золотым» треугольником. Если мы продолжим процесс, разделив угол С пополам, то получим еще один треугольник CDE, который, в свою очередь, подобен предыдущим двум.
Теперь вспомним, как мы получали меньшие «золотые» прямоугольники, удаляя в данном «золотом» прямоугольнике квадраты. Если в «золотом» треугольнике мы будем продолжать делить углы пополам, то будем получать все меньшие «золотые» треугольники. Этот процесс эквивалентен удалению «золотого» гномона. Таким образом мы получим спираль последовательных «золотых» треугольников, сходящуюся, как и в случае «золотых» прямоугольников, к одной точке.
Символика пятиконечной звезды
Почему те звезды, которые мы наблюдаем на небе, испокон веков изображаются в виде пятиконечной звезды? Одно из объяснений: из-за их мерцания. Этот визуальный эффект вызван прохождением звездного света через верхние слои атмосферы разной плотности. Как бы то ни было, мало что изменилось с тех пор, когда наши предки изучали небо, пытаясь разгадать его скрытый смысл. Изображение звезд в виде пятиконечной звезды встречается с древних времен, еще на глиняных табличках Месопотамии, а также в египетских иероглифах.
