Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 31

Равносторонний треугольник FED является треугольником Морли.

* * *

Таким образом, мы доказали, что отношение диагонали к стороне правильного пятиугольника равно Ф.

Но у звезды пятиугольника имеются и другие связи с золотым сечением. Давайте посмотрим на пятиугольник и на треугольники, которые появляются, когда мы проводим диагонали. Мы видим только три разных угла: 36°, 72° и 108°. Кроме того, так как 72 — это два раза по 36, а 108 — это три раза по 36, то все углы являются кратными 36°.

Мы видим много равнобедренных треугольников, но среди них только три разных типа: треугольники ABE, АВР и AFC. Все остальные подобны одному из них. Кроме того, мы видим только четыре отрезка различной длины. Назовем их BE = а, АВ = АЕ = b, AF = BF = AG = с и GF = d, так что a > b > с > d.

К каждому из этих треугольников мы применим теорему синусов, которая утверждает, что в любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла есть величина постоянная. В треугольнике АВЕ:

a/sin 108° = b/sin 36°; a/b = sin 108/sin 36°

В треугольнике ABF:

b/sin 108° = c/sin 36°; b/c = sin 108/sin 36°

И, наконец, в треугольнике AFC:

c/sin 72° = d/sin 36°; c/d = sin 72°/sin 36°= sin 108°/sin 36°

Так как 72° = 180° — 108°, и синусы дополнительных углов равны, мы имеем, что sin 72° = sin 108°.

Таким образом, мы установили следующее соотношение:

a/b = b/c = c/d =1,618033988…

С помощью тригонометрии мы доказали, что для четырех отрезков, расположенных от большего к меньшему, отношение длины каждого из них к длине следующего за ним постоянно и равно золотому сечению.

Мы можем получить это соотношение по-другому, начиная с первого из равенств, используя то, что с = а — Ь, и учитывая, что стороны пятиугольника одинаковы, т. е. b = 1.

a/b = b/c — > a/b = b/(a — b) — > a/1 = 1/(a — 1) — > a^>2 — a -1 = 0 — > a = (1 + √5)/2

Таким образом, мы видим, что отношение длин двух последовательных отрезков равно золотому сечению.

«Золотой» треугольник

Как мы только что видели, пятиугольник и его диагонали образуют два типа равнобедренных треугольников. Первый имеет углы 36°, 36° и 108°, а второй — 36°, 72° и 72°. В обоих случаях отношение длины большей стороны к меньшей равно Ф. Поэтому их называют «золотыми» треугольниками. Иногда название дается по типу: треугольник с углами 36°, 72° и 72° называется «золотым» треугольником, а треугольник с углами 36°, 36° и 108° называется «золотым» гномоном. Мы не будем выделять это различие.