Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 23
(М + m)/М = М/m = Ф. (4)
Допустим, у нас есть «золотой» прямоугольник, как на следующем рисунке слева. Если мы достроим на его большей стороне равносторонний прямоугольник (т. е. квадрат), мы получим новый прямоугольник со сторонами М и (m + М), как на рисунке справа. Согласно соотношению (М + m)/М = М/m, если исходный прямоугольник являлся «золотым» (то есть с условием М/m = Ф), то только что построенный большой прямоугольник также будет «золотым», потому что (М + m)/М = М/m. Этот метод позволяет строить «золотые» прямоугольники большего размера.
Тот же самый результат мы получим, если от «золотого» прямоугольника отрежем квадрат со стороной, равной меньшей стороне исходного прямоугольника, как на рисунке ниже. Тогда у нас получится прямоугольник со сторонами m и М — m. Он, очевидно, меньше, но также будет являться «золотым», если
m/(M — m) = Ф <-> (M — m)/m = 1/Ф.
Так как М/m = Ф (см. (4)), то отсюда следует, что (M — m)/m = (M/m) — 1 = Ф -1 = 1/Ф
Что и требовалось доказать.
ГНОМОН
Еще древние греки заметили, что некоторые объекты природы, меняясь по величине, всегда сохраняют свою форму. Это явление получило название гномонического роста. Изобретатель и инженер Герон Александрийский дал такое определение: «Гномон — это фигура, которая, будучи добавлена к другой фигуре, образует новую фигуру, подобную исходной». Гномон «золотого» прямоугольника представляет собой квадрат со стороной, равной длине «золотого» прямоугольника.
Как и в случае подобных прямоугольников, существует простой и быстрый способ узнать, является ли прямоугольник «золотым», без измерения его сторон. Возьмем два одинаковых прямоугольника и поместим их рядом друг с другом, один горизонтально, другой вертикально, как на следующем рисунке слева. Затем мы проведем линию через вершины А и В, как показано на рисунке справа. Если эта прямая проходит точно через вершину С, то мы имеем два «золотых» прямоугольника одинакового размера.
Как можно объяснить этот факт? По теореме Фалеса, если две параллельные прямые пересекают две стороны треугольника, то они отсекают пропорциональные отрезки. На втором рисунке мы видим, что АВ будет проходить через С, когда
AD/DB = АЕ/ЕС.
Однако если мы подставим значения для каждой из этих сторон, то получим: (М + m)/М = М/m.
И снова мы видим уравнение (4), определяющее Ф.
