Золотое сечение. Математический язык красоты | страница 12
Проиллюстрируем это, найдя значение следующей последовательности квадратных корней:
Добавляя по одному корню из единицы, мы получим последовательность приближенных значений числа А.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Для математика термин «последовательность» означает неограниченный набор упорядоченных чисел, построенный по определенному правилу. Члены последовательности обычно обозначаются буквой с нижним индексом, который указывает на занимаемое в последовательности место: a>1, а>2, a>3…, а>n… = {а>n}.
Два примера последовательностей: четные числа {2, 4, 6, 8, 10,…} = {2n}, и квадраты чисел {1, 4, 9, 16, 25…} = {n>2}. Другим примером являются геометрические прогрессии, в которых каждый член равен предыдущему, умноженному на постоянное число, называемое знаменателем профессии. Иными словами, отношение двух последовательных членов является числом постоянным. Многие последовательности имеют выражение, которое позволяет нам найти значение каждого члена в зависимости от позиции, которую он занимает. Зная этот общий член, мы можем определить последовательность и найти все ее члены. В случае геометрической прогрессии, где первый член а>1 и знаменатель г, общий член выражается как а>n = а>1∙r>n->1. Последовательность можно определить также с помощью так называемого рекуррентного соотношения, которое позволяет получить значение члена последовательности, зная предыдущие члены. Конечно, удобнее работать с общим членом, но записать для каждой последовательности формулу общего члена не всегда возможно или не так просто.
Далее, даже при добавлении дополнительных членов, результаты будут колебаться около значения 1,618, что, по сути, является значением Ф. Снова мы совершенно неожиданно нашли новый способ получения приближенного значения Ф. Хотя мы должны это доказать.
Возводя выражение (5) в квадрат, получим:
Это равносильно уравнению А>2 — А — 1 = 0
Это же самое уравнение определяет Ф. Следовательно, мы нашли еще один способ выразить значение золотого сечения:
ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
На протяжении долгого времени самым распространенным способом нахождения приближенного значения были цепные дроби: выражения следующего вида, в которых значения а>1 являются целыми числами:
Для удобства обозначения цепные дроби, как правило, записываются в виде [а>1, а>2, а>3, а>4….], если числа а>1 и а>2 периодически повторяются, то дробь записывается как [a>1, а>2]
Для рациональных чисел соответствующие цепные дроби конечны. Например:
Любое иррациональное число, которое содержит квадратный корень, также может быть выражено в виде цепной дроби. Решение уравнения
