Теперь возьмем калькулятор и сделаем несколько простых расчетов, взяв приближенное значение Ф с точностью до пяти десятичных знаков: Ф = 1,61803.
Сначала разделим единицу на Ф. Что мы получим? Число 0,61803; те же самые десятичные знаки после запятой. Оказывается, что 1/Ф = Ф — 1.
БОЛЕЕ ТОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ Ф
Для любителей точности мы приводим значение золотого сечения с 99 знаками после запятой!
1,618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622705260462818902449707207204189391137484754088075386891752
12663386222353693179318006076672635443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104321626954
86262963136144381497587012203408058879544547492461856953648644492410443207713449470495658467885098743394422125448770664780
9158846074998871240076521705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666599146697987317613
560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102
838312683303724292675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317159934323597349498509040
947621322298101726107059611645629909816290555208524790352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222
480939471234145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681986151437803149974110692608867
4296226757560523172777520353613936.
Теперь давайте возведем наше число в квадрат (Ф>2). С учетом приближенного значения получаем, что Ф>2 = Ф + 1. Является ли это просто случайностью? Мы сейчас покажем, что это вовсе не совпадение.
Основные свойства золотого сечения
Для начала вспомним, что Ф является решением уравнения:
х>2 — х — 1 = 0. (1)
Мы только что проверили это с приближенным значением, показав, что
Ф>2 — Ф — 1 = () => Ф>2 = Ф + 1. (2)
Начиная с уравнения (2), несколько раз умножим обе части на Ф и получим:
Ф>3 = Ф>2 + Ф
Ф>4 = Ф>3 + Ф>2
Ф>5 = Ф>4 + Ф>3
….
Мы видим, что любая степень Ф равна сумме двух предыдущих степеней. В результате, имея значения Ф и Ф>2, нам не нужно выполнять операции умножения для получения других степеней Ф, достаточно сложить две последовательных степени, чтобы получить следующую.
Аналогично, используя выражения (2) и (3), мы можем найти другие соотношения между степенями Ф, которые содержат только само значение Ф и натуральные числа.
Ф>3 = Ф>2 + Ф = Ф + 1 + Ф = 2Ф + 1
Ф>4 = Ф>3 + Ф>2 =(2Ф + 1) + (Ф + 1) = 3Ф + 2
Ф>5 = Ф>4 + Ф>3 = (3Ф + 2) + (2Ф +1) = 5Ф + 3
