Теорема века. Мир с точки зрения математики | страница 111
Можно сначала подумать, что эта средняя величина будет зависеть от выбора функции φ, определяющей плотность воображаемой материи, и что так как эта функция φ произвольна, то в зависимости от произвольного выбора, который мы сделаем, мы можем получить какую угодно среднюю величину. Но это совсем не так.
Простое вычисление показывает, что наш двойной интеграл очень быстро убывает с возрастанием t.
Таким образом, я совершенно не знал, какую гипотезу мне допустить относительно вероятности того или иного начального распределения; но каково бы ни было сделанное допущение, результат будет тот же: это и выводит меня из затруднения.
Какова бы ни была функция φ, средняя величина стремится к нулю с возрастанием t, и так как малые планеты, конечно, совершили очень большое число обращений, то я могу утверждать, что эта средняя величина очень мала.
Я могу выбрать φ по своему желанию, однако с одним ограничением: эта функция должна быть непрерывной; и в самом деле, с точки зрения субъективной вероятности выбор прерывной функции был бы неразумным; какое основание имел бы я, например, предполагать, что начальная долгота может быть равна именно 0°, но что она не может быть заключена между 0° и 1°?
Но трудность возникает вновь, если стать на точку зрения объективной вероятности – если мы перейдем от нашего воображаемого распределения, где воображаемая материя предполагалась непрерывной, к действительному распределению, где наши изображающие точки образуют собой как бы дискретные атомы.
Среднее значение sin(at + b) представится просто через
1/n ∑ sin(at + b)
где n – число малых планет. Вместо двойного интеграла, относящегося к непрерывной функции, мы имеем сумму дискретных членов, и между тем никто серьезно не усомнится в том, что это среднее значение будет на самом деле очень мало.
Именно вследствие того, что наши изображающие точки крайне скучены, наша дискретная сумма вообще будет очень мало отличаться от интеграла.