Теорема века. Мир с точки зрения математики | страница 111



, т. е. sin(аt + b)? Мы начали с произвольного соглашения; если мы примем его, то это вероятное значение вполне определено. Разобьем плоскость на элементы площади. Рассмотрим значение sin(at + b) в центре каждого из этих элементов; умножим эту величину на площадь элемента и на соответствующую плотность воображаемой материи; составим затем сумму для всех элементов плоскости. Эта сумма по определению будет искомой вероятной средней величиной, которая окажется, таким образом, выраженной при помощи двойного интеграла.

Можно сначала подумать, что эта средняя величина будет зависеть от выбора функции φ, определяющей плотность воображаемой материи, и что так как эта функция φ произвольна, то в зависимости от произвольного выбора, который мы сделаем, мы можем получить какую угодно среднюю величину. Но это совсем не так.

Простое вычисление показывает, что наш двойной интеграл очень быстро убывает с возрастанием t.

Таким образом, я совершенно не знал, какую гипотезу мне допустить относительно вероятности того или иного начального распределения; но каково бы ни было сделанное допущение, результат будет тот же: это и выводит меня из затруднения.

Какова бы ни была функция φ, средняя величина стремится к нулю с возрастанием t, и так как малые планеты, конечно, совершили очень большое число обращений, то я могу утверждать, что эта средняя величина очень мала.

Я могу выбрать φ по своему желанию, однако с одним ограничением: эта функция должна быть непрерывной; и в самом деле, с точки зрения субъективной вероятности выбор прерывной функции был бы неразумным; какое основание имел бы я, например, предполагать, что начальная долгота может быть равна именно 0°, но что она не может быть заключена между 0° и 1°?

Но трудность возникает вновь, если стать на точку зрения объективной вероятности – если мы перейдем от нашего воображаемого распределения, где воображаемая материя предполагалась непрерывной, к действительному распределению, где наши изображающие точки образуют собой как бы дискретные атомы.

Среднее значение sin(at + b) представится просто через

1/n ∑ sin(at + b)

где n – число малых планет. Вместо двойного интеграла, относящегося к непрерывной функции, мы имеем сумму дискретных членов, и между тем никто серьезно не усомнится в том, что это среднее значение будет на самом деле очень мало.

Именно вследствие того, что наши изображающие точки крайне скучены, наша дискретная сумма вообще будет очень мало отличаться от интеграла.