Изобразим каждую малую планету точкой на плоскости, именно точкой, координаты которой в точности суть а и b. Все эти изображающие точки будут заключены в некоторой области плоскости, но так как их очень много, то эта область окажется усеянной точками. Впрочем, мы ничего не знаем о распределении этих точек.
Как приложить исчисление вероятностей в данном случае? Какова вероятность того, что одна или несколько изображающих точек находятся в такой-то части плоскости? Вследствие нашего незнания нам приходится ввести произвольную гипотезу. Чтобы выяснить природу этой гипотезы, я использую вместо математической формулы грубый, но конкретный образ.
Представим себе, что поверхность нашей плоскости покрыта воображаемой материей, плотность которой переменна, но изменяется она непрерывно. Условимся принять, что вероятное число изображающих точек, приходящихся на данную часть плоскости, пропорционально количеству находящейся здесь воображаемой материи. Поэтому, если мы имеем на плоскости две области одинаковых размеров, то вероятности того, что точка, изображающая одну из наших малых планет, находится в той или другой из этих областей, будут относиться, как средние плотности воображаемой материи в той или другой области.
Вот, следовательно, два распределения: одно – действительное, где изображающие точки крайне многочисленны, крайне скучены, но разделены, как молекулы материи по атомистической гипотезе; другое – расходящееся с действительностью, где наши изображающие точки заменены воображаемой непрерывной материей. Относительно последней мы знаем, что она не может быть реальной, но наше незнание вынуждает нас принять ее.
Если бы затем мы имели какое-нибудь представление о действительном распределении изображающих точек, то мы могли бы условиться так, чтобы во всякой области плотность этой воображаемой непрерывной материи была приблизительно пропорциональна числу изображающих точек или, если угодно, числу атомов, заключающихся в этой области. Но и этот прием невозможен, наше незнание столь велико, что мы принуждены выбирать произвольно функцию, определяющую плотность нашей воображаемой материи. Мы вынуждены принять только одну гипотезу, которой мы почти не в состоянии избежать, – мы предположим эту функцию непрерывной. Этого, как мы увидим, достаточно для того, чтобы мы могли сделать некоторое заключение.
Каково вероятное распределение малых планет в момент t? Или, иначе, каково вероятное значение синуса долготы в момент
