Представьте себе, что вы учитесь не в школе, а ходите на уроки на пляж. Здорово, правда? Именно так поступали пифагорейцы. Пифагор любил изображать числа шариками или камешками, выложенными на песке. По-разному располагая эти камешки, он придумал несколько математических формул и концепций.
Посмотрим на некоторые примеры.
Сумма последовательных нечетных чисел
Каждый, кто помнит хоть что-то из школьного курса, вероятно, может вспомнить и следующий закон: сумма n первых последовательных нечетных чисел, начиная с 1, всегда равна квадрату n.
Проиллюстрируем это утверждение:
1 + 3 = 4 = 2²;
1 + 3 + 5 = 9 = 3²;
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
и так далее.
Те, кто продолжал углубленно изучать математику в старших классах, вероятно, знают, что этот закон можно доказать при помощи концепции, которая называется математической индукцией.
Математическая индукция – это совершенно поразительный инструмент для доказательства утверждений. Что особенно замечательно, он позволяет получить доказательство для бесконечного множества элементов исходя из доказательства для конечного их числа. Я приведу пример, объясняющий, как работает индукция. Предположим, мы хотим доказать, что следующее равенство справедливо для всех натуральных чисел:
1 + 3 + … + (2n – 3) + (2n – 1) = n².
Доказательство состоит из двух частей. В первой части мы доказываем справедливость так называемого индукционного перехода, то есть несколько странного утверждения, которое гласит: «Если это равенство истинно для n, то оно истинно и для n + 1».
Во второй части нужно доказать так называемую базу индукции, то есть убедиться, что это равенство истинно для n = 1.
Вот и всё! Этим мы доказываем справедливость этого утверждения для всех натуральных чисел.
Все это может показаться сомнительным, но позвольте мне объяснить. Представьте себе, что доказательство для n – это костяшка домино. Если вы когда-нибудь выстраивали ряд костяшек домино, вы знаете, что их ставят так, что, когда некая определенная костяшка падает, она толкает соседнюю, та толкает следующую и так далее – пока не упадут все костяшки. В доказательстве по индукции мы точно так же выстраиваем свои «утверждения» в ряд: если мы доказали утверждение для любого элемента
