Восемь этюдов о бесконечности. Математическое приключение | страница 32

, это «толкает» утверждение для элемента n + 1. Но, как и в случае костяшек домино, чтобы запустить цепную реакцию падения, нужно подтолкнуть первую костяшку – или, если использовать терминологию математической индукции, доказать базу индукции. Итак, мы совершаем индукционный переход – то есть предполагаем, что истинно следующее равенство:

Теперь докажем, что оно справедливо и для n + 1, рассуждая следующим образом.

Левая часть равенства имеет вид:

В правой же части должно быть (n + 1)². Поскольку мы предполагаем, что наше равенство выполняется для n, мы можем утверждать, что:

Этим завершается доказательство гипотезы индукции. Осталось только толкнуть первую костяшку. Для базы индукции, то есть при n = 1, утверждение, несомненно, справедливо, так как 1 = 1².

Теперь костяшки доказательства начинают падать одна за другой: утверждение для n = 2 вытекает из утверждения для n = 1, утверждение для n = 3 – из утверждения для n = 2 и так далее.

Однако Пифагор придумал способ получше этого. Тот же закон становится совершенно очевидным, если расположить камешки определенным образом.

Один шарик и три шарика легко расставить в форме квадрата размером 2 × 2 клетки:

Один шарик, три шарика и еще пять шариков дают правильный квадрат размером 3 × 3:

Если же добавить к ним следующее нечетное число, 7, точно так же получится квадрат размером 4 × 4 клетки:

Великий еврейский философ Барух Спиноза различал три вида знания:

1. Вера.

2. Исследование (экспериментирование).

3. Понимание.

Я объясню, о чем идет речь. Если вы сообщаете мне что-то – например что сумма последовательности нечетных чисел равна полному квадрату, – я могу поверить, что вы знаете, о чем говорите. Это первый уровень знания. Однако вполне может быть, что то, что вы мне рассказали, неверно.

Если я не поленюсь проверить эту информацию – то есть рассмотрю несколько примеров и смогу убедиться, что для них это правило выполняется, – я перейду на второй уровень знания. На нем утверждение несколько более достоверно, потому что я видел, что оно действительно справедливо в некоторых случаях, но считать его абсолютно истинным нельзя. Профессор Бено Арбель (1939–2013) показал мне однажды замечательный пример, в котором многократные проверки не позволяют убедиться в истинности утверждения, даже когда их число необычайно велико. Возьмем выражение 991