В этом непрерывном, хотя и не слишком заметном продвижении каждая эпоха передает следующей моральное обязательство не пренебрегать задачами, решенными только частично. Пока прошлое неясно, будущее неопределенно. Две трудноразрешимые задачи двадцатипятистолетней давности все еще сопротивляются окончательному решению и остаются столь же урожайными на новые методы скрупулезного размышления, как и в тот момент, когда с ними впервые столкнулись. Одна касается значения «числа»; другая – возможности и надежности дедуктивного умозаключения. Обе ведут свое начало от оптимистичной веры пифагорейцев, что «числа» в своем первозданном виде представляют собой самый простой язык, достаточный и для математики, и для рационального описания целой вселенной. Такой подход пифагорейцев был слишком упрощенным и явно недостаточным.
Как мы видели, ранние пифагорейцы признавали, что натуральные числа 1, 2, 3… и дроби, или «отношения», полученные делением одного целого числа на другое, не могут быть использованы для измерения столь элементарной «величины», как диагональ квадрата, сторона которого взята как единица измерения по длине. На самом деле они доказали, что корень квадратный из двух не является рациональным числом. В частности, они предположили, что их первичные числа (рациональные числа) не измеряют длину всех линий. Тогда возник вопрос значения такого понятия, как «длина линии». Было ли обязательно измерять все линии числами?
Перед ними открывались три возможности. Либо за иррациональными числами (такими, как корень квадратный из двух) не признается статус «числа»; либо первоначальное понятие «числа» расширяется и оно начинает включать в себя и рациональные и иррациональные числа; либо в науке появляется нечто совершенно новое, и числа перестают коррелироваться исключительно с линиями. Греки после пифагорейцев выбрали третью возможность и на этом пути столкнулись с понятием математической бесконечности.
Чтобы рассуждать о бесконечности, им пришлось усовершенствовать дедуктивный метод. Преодолевая сложности решения отдельных задач с иррациональными числами, они по неосторожности допустили в свою логическую цепочку некоторые допущения. Эти допущения либо не замечались, либо игнорировались как не имеющие прямого отношения и несущественные для математики, пока ближе к концу XIX столетия они резко не заявили о себе в современной математике. Вот тогда-то в самых основах, на которых зиждилась вся математика начиная с XVII века, стали проявляться противоречия и парадоксы. Сначала все обнаружили несовершенное понимание математической бесконечности. Затем более тщательный анализ некоторых парадоксов бесконечности показал, что более серьезные трудности веками были скрыты в логике, которую великие математики от Древней Греции до конца XIX столетия считали отвечавшей требованиям математики и достаточной для ее развития.
