В поисках бесконечности | страница 22
Рис. 6
Если повернуть трактрису вокруг прямой Ox, то получится псевдосфера (рис. 7). Эта поверхность замечательна тем, что геометрия на ней совпадает с геометрией на куске плоскости Лобачевского. Поэтому открытие псевдосферы было очень важным этапом в развитии неевклидовой геометрии.
Рис. 7
Гаусс и Риман.
В работах Гаусса был до конца решен вопрос о том, что такое кривизна поверхности. На повестку дня встала проблема, как определить меру кривизны пространства. Это удалось сделать одному из самых замечательных математиков XIX в.- Бернгарду Риману.[28]
Проблеме кривизны пространства была посвящена пробная лекция, прочитанная Риманом в 1854 г. Тогда в университетах существовал хороший обычай: начинающий преподаватель должен был прочесть лекцию для членов факультета, чтобы они могли определить его педагогические способности. Риман предложил несколько тем пробных лекций, из которых Гаусс выбрал одну, сильнее всего заинтересовавшую его — "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". Надо полагать, что слушатели остались не слишком высокого мнения о педагогических дарованиях Римана: содержание лекции понял до конца лишь один слушатель — Гаусс.
Почти без формул и выкладок Риман развил общие идеи о многомерных многообразиях, об измерении длин в таких многообразиях, их кривизне и т. д. В лекции были поставлены интересующие до сих пор физиков-теоретиков вопросы о том, непрерывно или дискретно наше пространство, применима ли обычная геометрия к бесконечно-малым областям пространства. Глубина этих идей захватила Гаусса, и, как рассказывают очевидцы, он ушел домой в глубокой задумчивости.
Кривизна пространства.
Как же ответил Риман на вопрос: что такое кривизна пространства и как она измеряется? Он применил тот же способ, каким Гаусс измерял кривизну поверхности: подсчитывал сумму углов треугольника, составленного из отрезков геодезических линий, и смотрел, на сколько она отличается от π. Однако при этом возникло осложнение: ведь в пространстве через точку можно провести много плоскостей и кривизна зависит не только от того, в какой точке ее вычисляют, но и от того, в какой плоскости лежат треугольники. Поэтому Риман говорил не о кривизне в данной точке, а о кривизне в данной точке в направлении данной плоскости.
