Если для всех треугольников в пространстве сумма углов равна π, тов этом пространстве верна обычная геометрия Евклида. Такое пространство не имеет кривизны, или, как говорят, оно плоское. Если же есть треугольники, сумма углов которых больше π, то кривизна пространства в соответствующих точках положительна; если же сумма углов меньше π, то отрицательна.
Таким образом, понятие кривизны пространства не содержит в себе ничего таинственного, а указывает лишь на то, что сумма углов треугольника может отличаться от предписанного Евклидом значения. Особенно интересными являются пространства, в которых кривизна во всех точках и во всех плоскостях одна и та же. В таких пространствах (их называют пространствами постоянной кривизны) тела могут передвигаться из одного места в другое, не меняя своих размеров. Если же кривизна пространства переменна, то тело при перемещении будет менять размеры, искажаться.
Риман поставил вопрос о том, является ли искривленным реальное пространство, в котором мы живем. Он писал: "Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических соотношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное.
Решение этих вопросов можно надеяться найти лишь в том случае, если, исходя из ныне существующей и проверенной опытом концепции, основа которой положена Ньютоном, станем ее постепенно совершенствовать, руководствуясь фактами, которые ею объяснены быть не могут... Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний день".
Путешествие за кривизной.
Лишь в начале XX в. начало осуществляться предсказание Римана — вопрос о кривизне пространства перешел из области абстрактных математических рассмотрений в область конкретных физических теорий. Обдумывая причину равенства инертной и гравитационной масс, великий физик Альберт Эйнштейн создал общую теорию относительности, радикально изменившую наши представления о связи материи и пространства. Если, как уже говорилось выше, в физике Ньютона пространство никак не зависело от наполнявшей его материи, то в новой теории оказалось, что пустого пространства, то есть пространства без содержащегося в нем поля, просто не существует. Пространство и время оказались существующими не сами по себе, а лишь в неразрывной связи друг с другом и только как структурное свойство поля.
