Это действие отрицает все суждения в правой части выражения, и я называю его отрицанием этих суждений.
5.501. Когда членами выражения в скобках становятся суждения – а порядок членов внутри скобок не имеет значения, – тогда я указываю на это обстоятельство знаком формы «(ξ)». Это переменная, значением которой являются члены выражения в скобках; черточка над переменной указывает, что она представляет все значения в скобках.
(То есть если ξ имеет три значения P, Q, R, тогда (ξ) = (P, Q, R).)
Значения переменной должны быть заданы.
Задание есть описание суждений, представлением которых является переменная.
Каким образом возникает описание членов выражения в скобках, не существенно.
Мы различаем три вида описания: 1. Прямое описание: мы просто заменяем переменной константы в значениях. 2. Задание функции fx, значениями которой для x будут суждения, подлежащие описанию. 3. Задание формального правила, которое определяет создание суждений; в этом случае членами выражения в скобках будут все члены последовательности форм.
5.502. Поэтому вместо «(– – И) (ξ, …)» я пишу «N(ξ)».
Это отрицание всех значений пропозициональной переменной ξ.
5.503. Очевидно, что мы легко можем выразить принцип и способ создания суждений при помощи этого действия, и посему должно быть возможно найти для него точное выражение.
5.51. Если ξ имеет всего одно значение, тогда N(ξ) =~p (не p); если оно имеет два значения, то N(ξ) = ~p × ~q (ни p, ни q).
5.511. Как может логика – всеохватная логика, отображающая мир – использовать столь причудливые значки и манипуляции? Лишь потому, что все они связаны друг с другом в бесконечной изящной сети, образуя как бы большое зеркало.
5.512. «~p» истинно, если «p» ложно. Поэтому в суждении «~p», когда оно истинно, «p» будет ложным суждением.
Но как тогда значок «~» соотносится с реальностью? Ведь в «~p» отрицает не «~», а то общее, что присуще всем знакам этой записи, отрицающим p. Можно сказать, что есть общее правило, конструирующее «~p», «~~~p», «~p ∨ ~p», «~p × ~p» и так далее, до бесконечности. И это общее свойство отражает отрицание.
5.513. Мы можем сказать, что общим для всех символов, утверждающим вместе p и q, будет суждение «p × q»; а общим для всех символов, утверждающих p или q, будет суждение «p ∨ q».
И сходным образом мы можем сказать, что два суждения противоположны, если они не имеют ничего общего друг с другом, и что всякое суждение содержит лишь одно отрицание, поскольку для него имеется только одно суждение, находящееся полностью вовне. В записи Рассела тоже ясно, что «q : p ∨ ~p» равнозначно «q», а «p ∨ ~p» не говорит ничего.
