Александр окончил 7 классов, в 1939 г. скончался отец и семья оказалась в тяжёлом положении. Было решено отправить Александра в Псков. С 1940 г. он работает и учится в фабрично-заводском училище, осваивает профессию строителя. После окончания ФЗУ был направлен на стройки в Сибирь. В Новосибирске застала Александра весть о начале войны. Когда исполнилось 18 лет, 26 июля 1942 г. он был призван в ряды Красной армии Октябрьским РВК Новосибирска.
Дроздов участвует в боевых действиях с апреля 1943 г. в составе 389-го отдельного сапёрного батальона 222-й стрелковой дивизии, когда дивизия вела наступательные бои под Ржевом и Ельней. С 7 августа 1943 г. дивизия принимает участие в Смоленской наступательной операции. В период боёв с 8 по 13 августа командир отделения младший сержант Дроздов в составе отделения сапёров обеспечивал продвижение танковой роты 58-го гвардейского танкового полка при прорыве обороны противника в районе д. Высокое. Сапёры передвигались на танках, Дроздов находился на броне головного танка. Когда в районе д. Хотиково танки не смогли перейти в атаку в связи с болотистой местностью, отделение Дроздова в течение ночи под сильным огнём противника построило 100 метров дороги, используя для настила брёвна и жерди. Утром танковая атака возобновилась. 9 августа в районе д. Лазки во время преодоления противотанкового рва, Дроздов дал возможность танкам продвигаться вперёд, а сам прикрывал продвижение автоматным огнём, уничтожив несколько солдат противника, причём одного взял в плен. В районе д. Пятницкая при разведке дороги для продвижения танков обезвредил около 50 противотанковых мин противника. За образцовое выполнение боевых заданий командования и проявленные при этом доблесть и мужество приказом командира 222-й стрелковой дивизии №035/н от 19 августа 1943 г. младший сержант Дроздов был награждён орденом Красной Звезды.
25 сентября 1943 г. 222-й стрелковой дивизии присвоено почётное наименование Смоленская.
14 ноября 1943 г., руководя своим сапёрным отделением, Дроздов устанавливал штурмовые мостики через реку Россоченка. Несмотря на сильный огонь противника, штурмовые мостики были успешно установлены, что дало возможность пехоте своевременно и без лишних потерь форсировать реку и вести дальнейшее наступление.
До декабря части дивизии наступали по территории Смоленской области. В период этих наступательных боёв Александр Дроздов был дважды ранен, но дивизию не покинул. К концу декабря Дроздов имел уже звание старшего сержанта. Под сильным огнём противника неоднократно проделывал проходы в минных полях, лично провёл инженерную разведку реки Лососина на предмет прохода артиллерии и танков и осуществил проход тяжёлой техники через речной брод. Своими действиями Дроздов способствовал общему развитию атаки на укреплённую оборону противника. Приказом командира 222-й стрелковой Смоленской дивизии №088/н от 8 февраля 1944 г. старший сержант Дроздов награждён медалью «За отвагу».
