Стратегии решения математических задач | страница 21

Это классический пример того, насколько эффективно поиск закономерности позволяет решать задачи. Для выявления закономерности построим еще четыре ряда букв.

Поскольку в последовательности 6 букв, ряды будут повторяться после каждых 6 букв. Более того, поскольку 30 кратно 6, буква в середине 30-го ряда будет той же самой, что и в середине 6 ряда, т. е. A. Стратегия распознавания закономерности делает решение задачи очень легким.

Найдите цифру в разряде единиц у каждого из следующих чисел:

(Понятно, что это нужно сделать, не прибегая к помощи калькулятора или компьютера.)

Некоторые пытаются решить эту задачу путем возведения 8 в степень с помощью калькулятора и очень быстро выясняют, что большинство калькуляторов не позволяет воспроизвести ответ такой величины. Количество разрядов на дисплее заканчивается раньше, чем на него будет выведено целевое значение.

Нам необходимо найти другой подход к решению этой задачи. Попробуем возводить 8 в последовательно увеличивающуюся степень и посмотрим, нет ли какой полезной закономерности в появлении последних цифр.

Обратите внимание на проявившуюся закономерность — цифра в разряде единиц повторяется при увеличении степени с шагом, равным четырем. По всей видимости, мы можем использовать эту закономерность при решении нашей задачи. Интересующая нас степень равна 19. При делении на 4 она дает остаток 3. Таким образом, последняя цифра числа 8^>19 должна быть такой же, как и у 8^>15, 8^>11, 8^>7 и 8^>3, т. е. 2.

Для скептиков приведем фактическое значение 8^>19 = 144 115 188 075 855 872.

Аналогичным образом проанализируем значения, получаемые при возведении 7 в последовательно увеличивающуюся степень, и попробуем отыскать закономерность.

В соответствии с этой закономерностью при делении показателя 197 на 4 мы получаем остаток, равный 1. Это означает, что последняя цифра числа 7^>197 должна быть такой же, как и у 7^>1, т. е. 7. При наличии времени вы можете возвести 7 в степень 197 и проверить этот ответ. У вас должно получиться:

Чтобы составить квадрат 1 × 1, требуется 4 зубочистки, как показано на рис. 2.3.

Чтобы составить квадрат 2 × 2, требуется 12 зубочисток (рис. 2.4).

Сколько потребуется зубочисток, чтобы составить квадрат 7 × 7?

Вы можете нарисовать квадрат 7 × 7 и просто подсчитать необходимое количество зубочисток. Такой подход вполне работоспособен, однако он громоздок и требует аккуратного построения чертежа.