Стратегии решения математических задач | страница 20
Задача 2.6
Сколько квадратов всех размеров на стандартной шахматной доске размером 8 × 8 клеток?
Обычный подход
Первой реакцией будет ответ 8 × 8 = 64 квадрата, однако слова «всех размеров» говорят о том, что могут существовать и другие ответы. Математический подход предполагает подсчет количества квадратных областей всех размеров на шахматной доске с 64 клетками, т. е. 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 и т. д. Это неудобно и довольно трудно, поскольку перекрывается множество клеток. К тому же в процессе подсчета легко сбиться, так что такой метод скучен и проблематичен.
Образцовое решение
Попробуем применить стратегию поиска закономерности в сочетании с таблицей для организации данных. Если начать с доски размером 1 клетка на 1 клетку, то, очевидно, на ней будет только один квадрат, т. е. квадрат 1 × 1. На доске размером 2 клетки на 2 клетки мы увидим четыре квадрата 1 × 1 и один квадрат 2 × 2, т. е. всего 5 квадратов. Представим данные в таблице по мере увеличения размера нашей доски от 1 × 1 до 2 × 2, 3 × 3 и т. д.
В таблице явно просматривается закономерность заполнения клеток в каждой строке, поэтому мы быстро определяем, что на шахматной доске размером 8 × 8 клеток находятся 204 квадрата всех размеров.
В представленной выше таблице можно заметить не только одну закономерность. В ней, например, встречается множество квадратов целых чисел. А если взглянуть на колонку «Всего» и определить разность между следующими друг за другом членами, то мы получим интересную последовательность:
5–1 = 4
14–5 = 9
30–14 = 16
55–30 = 25
91–55 = 36
140–91 = 49
204–140 = 64.
Опять мы получаем квадраты целых чисел. Если теперь найти разность второго порядка, т. е. разность между квадратами, то мы получим последовательность нечетных чисел, начиная с 5:
9–4 = 5
16–9 = 7
25–16 = 9
36–25 = 11
49–36 = 13
64–49 = 15.
Закономерности не только очень полезны для решения задач, как мы видели выше, они также придают прелесть математике.
Задача 2.7
Таблица, представленная ниже, продолжается бесконечно. Какая буква будет находиться в середине 30-го ряда?
Обычный подход
Можно продолжить выписывать буквы в каждом ряду, пока не дойдем до 30-го ряда. Теперь можно определить, какая буква находится в середине. Такой метод громоздок, но он дает правильный ответ.
