Стратегии решения математических задач | страница 19

Закономерность, похоже, наблюдается в разнице, которая увеличивается каждый раз на единицу. Таким образом, протестировав следующий вариант, в котором пять линий предположительно дают 16 частей, мы можем, по всей видимости, составить на основе выявленной закономерности следующую таблицу.

Итак, с помощью семи линий можно разделить круг на 29 частей.

Нам дают карту с направлениями движения вдоль улиц, как показано на рис. 2.1.

Сколько существует маршрутов из точки A в точку L?

Самый очевидный подход — просто подсчитать возможные маршруты. Иными словами, определять маршруты по одному за раз и суммировать результаты. Например, один маршрут — это A-B-C — D-E-F-G-H-I-J-K-L, другой — A-C-D-E-G-K-L и т. д. Вместе с тем, как вы видите, такой путь довольно громоздок, и к тому же при его использовании трудно избежать дублирования маршрутов. А вариантов здесь порядочно!

Воспользуемся стратегией поиска закономерности. Допустим, мы хотим попасть из точки A в точку B. Здесь имеется только один маршрут (A-B). В точку C можно добраться из точки A уже двумя путями (A-B-C и A-C). Из точки A в точку D существуют три маршрута, а именно (A-B-D, A-C-D, A-B-C-D). Если продолжить подсчет таким образом, то мы получим следующее количество маршрутов в каждую точку вплоть до точки F.

Они показаны на рис. 2.2.

Числовой ряд 1, 2, 3, 5, 8, 13 — это последовательность Фибоначчи, которую в западном мире впервые представил Леонардо Пизанский (известный так же, как Фибоначчи) в 1202 г. В начале такой последовательности стоят 1 и 1, а последующие числа получаются как сумма предыдущих двух. Если продолжить эту последовательность до точки L, то мы получим следующее:

Таким образом, используя эту закономерность, мы находим, что из точки A до точки L можно добраться 144 маршрутами.

Джонни берет лист бумаги из записной книжки и разрывает его пополам, а затем кладет получившиеся части одну на другую и еще раз разрывает их пополам. Обрывки он опять складывает и рвет пополам. Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз, то какой толщины будет стопка обрывков? (Будем считать, что толщина листа бумаги 0,0254 мм.)

Можно нарисовать таблицу и подсчитать результаты для каждого действия.

И так далее. В конечном итоге можно заполнить таблицу для всех 20 делений и найти ответ.

Воспользуемся стратегией поиска закономерности для решения этой задачи. После 1-го деления в стопке будет 2 слоя бумаги, после 2-го деления — 4 слоя, после 3 деления — 8 слоев. В экспоненциальной форме количество слоев можно представить, как 2