Стратегии решения математических задач | страница 18
+ 3
13 = 2>3 + 5
15 = 2>3 + 7
17 = 2>2 + 13
19 = 2>4 + 3
и так далее
51 = 2>5 + 19
и так далее
125 = 2>6 + 61
127 =?
129 = 2>5 + 97
131 = 2>7 + 3.
Перейдем теперь к задачам, которые наиболее эффективно решаются путем распознавания закономерности, особенно когда такая закономерность не очевидна.
Задача 2.1
Какая цифра находится в разряде единиц у числа, где
Обычный подход
К сожалению, находятся люди, которые полагают, что для определения значения этого числа нужно последовательно возвести основание в степень вплоть до последнего показателя. Такой подход не может быть успешным!
Образцовое решение
Попробуем выяснить, существует ли какая-то закономерность в числах по мере повышения показателя степени в соответствии с условиями задачи. По мере повышения показателя основания 2 цифры в разряде единиц изменяются в последовательности 2, 4, 8, 6.
2>1 = 2
2>2 = 4
2>3 = 8
2>4 = 16
2>5 = 32
2>6 = 64
2>7 = 128
2>8 = 256.
Результат на третьей ступени наших вычислений ниже кратен 4, а любой результат возведения 2 в степень, кратный 4, дает число, у которого в разряде единиц стоит 6.
Таким образом, у нашего числа в разряде единиц находится цифра 6.
Задача 2.2
В каждой приведенной ниже прямоугольной решетке содержится определенное количество точек. Сколько точек будет на рис. 49?
Обычный подход
Очевидный подход — это последовательное построение решеток вплоть до рис. 49, в котором можно подсчитать точки. Это займет много времени и потребует огромного терпения, не говоря уже о количестве бумаги. Вместе с тем наверняка должен существовать более практичный подход к решению этой задачи.
Образцовое решение
Попробуем организовать данные и поискать закономерность. Перенесем в таблицу то, что нам уже известно.
Ну вот и закономерность. Высота на 2 больше номера рисунка, а ширина на 1 больше номера рисунка. Для рис. n мы получаем:
Таким образом, на рис. 49 будет 51 × 50 = 2550 точек.
Задача 2.3
Круг можно разделить на семь частей с помощью трех прямых линий. Какое максимальное количество частей можно получить при делении круга с помощью семи прямых линий?
Обычный подход
Обычно при решении этой задачи берут круг и проводят через него семь линий так, чтобы любые три из них не пересекались, т. е. не имели общей точки. Если проделать такую операцию аккуратно, то она должна привести к правильному ответу. Вместе с тем определение максимально возможного количества частей может быть сложным.
Образцовое решение
При решении этой задачи интересно посмотреть, не проявится ли какая закономерность при увеличении количества линий, делящих круг на части, при условии, что никакие три из них не должны иметь общей точки. Понятно, что одна линия делит круг всего на две части. Две линии позволяют разделить круг на четыре части. В таблице ниже показано количество частей, на которые можно разделить круг с помощью заданного количества линий, ни одна тройка которых не имеет общей точки.
