Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 43

Число различных выборов r объектов из n равно

При r = n, как мы знаем, P(n/n) = 1/n!, и мы можем положить P(0/0) = 1.

Проверим справедливость соотношения (1) при n = 4, г = 2. Согласно (1)

а из нашей таблицы видно, что

P(2/4) = 6/24,

P(0/2) = 1/2

и 6/24 = 1/4, что подтверждает (1) в этом частном случае.

Мы знаем также, что сумма вероятностей по всем возможным числам совпадений при заданном значении n равна 1, т. е.

P(0/n) + P(1/n) + ... + P(n − 1/n) + P(n/n) = 1.

Используя (1), запишем это соотношение как

Так как P(n/n) = 1/n!, то отсюда можно последовательно находить значения P(0/n).

Итак, мы можем найти в принципе значение P(0/n) при любом n, но не располагаем общей формулой для вычисления P(0/n). Как и в некоторых других задачах, здесь помогает вычисление последовательных разностей. Подсчитаем P(0/n) − P(0/n − 1) для различных значений n. Имеем

P(0/1) − P(0/0) = 0 − 1 = −1 = −1/1!,

P(0/2) − P(0/1) = 1/2 − 0 = 1/2 = 1/2!,

P(0/3) − P(0/2) = 2/6 − 1/2 = −1/6 = −1/3!,

P(0/4) − P(0/3) = 9/24 − 2/6 = 1/24 = 1/4!.

Эти выкладки наводят на мысль о том, что искомые разности имеют вид (-l)^>r/r!, т. е.

Суммируя эти разности, получаем

Записывая P(0/0) в виде 1/0!, получаем

Осталось проверить теперь справедливость нашей догадки. Нам надо вычислить

Не следует терять хладнокровия. при виде этого зловещего выражения. Ведь сумма в (4) образована слагаемыми вида

где индекс j отвечает множителю, стоящему перед знаком суммы, а индекс i соответствует отдельным членам этой суммы. Переставим местами слагаемые так, чтобы сумма i + j была постоянной. Так, для i + j = 3 получим

Умножая на 3!, получаем более знакомое выражение

которое с помощью биномиальных коэффициентов может быть записано в виде

Но эта сумма есть разложение (x + y)³ при х = −1, y = 1 и, значит, равна нулю, так как (-1 + 1)³ = 0³ = 0. Этот факт имеет место при каждом значении i + j = r, r = 1, 2, ...., n, так что соответствующие суммы равны нулю. Лишь при r = 0 получаем единственный член (-1)^>0/(0!·0!) = 1. Следовательно, решение (3) удовлетворяет уравнению (2).

Ясно, что других решений у (2) нет. Это может быть доказано методом индукции, так как P(0/n) выражается через P(0/1), P(0/2), ..., P(0/n − 1).

Из (1) и (3), наконец, выводим

Если n − r велико, то выражение в скобках близко к e^>−1 и

если только n − r достаточно велико. Итак, действительно, вероятности r совпадений в нашей задаче близки к пуассоновским со средним 1. Однако для этой близости необходимо, чтобы разность