47. Решение задачи о выборе наибольшего приданого
Любопытно узнать — на много ли шансы мудреца на успех больше 1/100? Многие предлагают следующую стратегию: пропустить первую половину билетов и затем выбрать первую сумму, превосходящую все предыдущие, если таковая найдется. Это достаточно разумно, но такая стратегия не является оптимальной. Очень немногие представляют себе порядок величины вероятности выигрыша.
Мы начнем с рассмотрения нескольких примеров. Поскольку мы ничего не знаем о суммах, проставленных на билетах, то можем рассматривать лишь номера билетов при их упорядочении согласно величинам сумм, записанных на них. Если, например, у нас имеется три билета с номерами 1, 2, 3, то билету 3 отвечает наибольшее приданое. Для одного или двух билетов задача тривиальна: мудрец делает правильный выбор при одном билете, и его шансы на выигрыш равны 1/2 при двух билетах.
При трех билетах имеем шесть возможных способов вытаскивания:
123 231*
132* 312
213* 321
Одна из стратегий — пропустить первый билет и затем выбрать первый номер, его превосходящий, если такой найдется. Эта стратегия выигрывает в трех случаях, отмеченных звездочкой, т. е. в половине всех возможных случаев, что значительно улучшает просто случайную догадку, например, выбор первого билета.
Допустим теперь, что у нас есть четыре билета. Их возможные перестановки есть
1234 2134 3124*+ 4123
1243+ 2143*+ 3142*+ 4132
1324+ 2314+ 3214*+ 4213
1342+ 2341+ 3241*+ 4231
1423* 2413* 3412* 4312
1432* 2431* 3421* 4321
Кажется разумным пропустить первый билет и остановиться на следующем наибольшем номере, если он есть. Назовем этот план стратегия 1. Звездочки в нашем списке указывают на случай выигрыша этой стратегии. Вероятность правильного решения равна здесь 11/24, что гораздо лучше, чем случайное решение с вероятностью выигрыша 1/4.
Стратегия 2 пропускает первые два номера и затем выбирает первый номер, их превосходящий. 10 перестановок, в которых эта стратегия дает выигрыш, отмечены крестиком. Видно, что стратегия 1 выигрывает чаще.
Если продолжать изучение всех возможных случаев их перечислением, то задача приобретает зловещий вид, так как уже для восьми билетов число перестановок есть 40320. Далее, могут существовать хорошие стратегии, которые мы упустим из виду, хотя это кажется невероятным. Будем надеяться, что математика сможет нам помочь.
