Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 42

Более формально, с каждой парой карт может быть связана случайная величина X_>i, которая равна 1 в случае, если карты одинаковы, и 0, если карты различны. Имеем

Наконец, общее число совпадений равно ∑X_>i и в силу уже упоминавшейся теоремы

Эта задача родственна задаче 28, в которой мы впервые встретились с законом Пуассона. Однако в задаче о фальшивомонетчике в силу независимости испытаний появление фальшивой монеты было равновероятно на каждом шагу, в настоящей же задаче совпадения для каждой пары не являются независимыми. Например, если n − 1 пар совпали, то необходимо совпадет и n-я пара, так что эти события действительно зависимы. Тем не менее при больших значениях n степень зависимости невелика, так что, казалось бы, вероятность r совпадений в этой задаче должна быть близка к вероятности обнаружения фальшивых монет, задаваемой распределением Пуассона. В конце мы сравним решение такой задачи с ответом, получаемым из закона Пуассона со средним 1.

При решении таких задач оказывается полезным рассмотрение частных случаев, отвечающих небольшим значениям n. При n = 1 совпадение неизбежно. При n = 2 вероятность отсутствия совпадения равна 1/2, вероятность двух совпадений также равняется 1/2. При n = 3 занумеруем карты цифрами 1, 2 и 3 и запишем в таблицу 6 возможных перестановок для верхней колоды при фиксированном порядке (1, 2 ,3) нижней.

Отсюда получаем

Приведем также соответствующую таблицу для n = 4. Легко заметить, что вероятность того, что произойдет n совпадений, равна 1/n!, поскольку только одной из n! перестановок отвечает n совпадений.

Отметим, что математическое ожидание каждого распределения равно 1, как указано в предыдущей задаче.

Пусть P(r/n) обозначает вероятность ровно r совпадений при распределении n объектов. Эти r совпадений могут быть получены за счет совпадения r фиксированных объектов и несовпадения остальных. Так, например, вероятность того, что совпадают именно