Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 41

Если бы правилами допускалось нечетное число игр, то это соображение действительно привело бы к правильному результату, и A должен был бы играть всего одну игру. Для четного же числа игр накладываются два эффекта: (1) смещение в пользу В и (2) изменение среднего члена биномиального распределения (вероятности ничьей) с ростом числа сыгранных партий.

Рассмотрим на минуту справедливую игру (p = 1/2). Тогда чем больше N, тем больше вероятность победы A, так как при возрастании 2n вероятность ничьей стремится к нулю, и вероятность выигрыша A стремится к 1/2. Для N = 2, 4, 6 эти вероятности равны соответственно 1/4, 5/16, 22/64. Из соображений непрерывности следует, что при p незначительно меньшем, чем 1/2, A следует выбирать большое, но конечное число игр. Однако, если p мало, то выбор N = 2 является оптимальным для A. Оказывается, что это так в случае, когда p < 1/3.

Вероятность выигрыша в игре, состоящей из 2n партий, равна сумме вероятностей получения n + 1, n + 2, ..., 2n очков, т. е.

Если играются 2n + 2 туров, то вероятность выигрыша равна

Игра, составленная из 2n + 2 партий, может быть рассмотрена как игра из 2n туров с добавлением еще двух туров. Если только игрок A не набрал n или n + 1 очко в игре из 2n туров, то он остается выигравшим или проигравшим в игре из 2n + 2 партий в зависимости от того, выиграл он или проиграл в игре из 2n партий.

Итак, вычислим (1) вероятность получения n + 1 очка в первых 2n партиях и проигрыша в следующих двух, равную

и (2) вероятность получения n очков в первых 2n партиях и выигрыша в следующих двух, которая равняется

Если N = 2n — оптимальный выбор для A, то P_{>N − 2} ≤ P_>N, P_>N ≥ P_{>N + 2}. Из предыдущих рассуждений следует, что эти неравенства эквивалентны следующим:

После незначительных преобразований (при которых исключается тривиальный случай p = 0) неравенства (1) сводятся к следующим:

(n − 1)·q ≤ np,     nq ≥ (n + 1)·p.          (2)

Отсюда выводим

Итак, если только 1/(1 − 2p) не является нечетным числом, то значение N определяется единственным образом, как ближайшее четное число, меньшее 1/(1 − 2p). Если же 1/(1 − 2p) нечетное число, то для обоих четных чисел 1/(1 − 2p) − 1 и 1/(1 − 2p) + 1 оптимальные вероятности одни и те же, т. е. если

то

P_>2n = P_{>2n + 2}.

Для p = 0.45 в качестве оптимального числа партий получаем 1/(1 − 0.9) = 10.

Рассмотрим сначала задачу с колодой карт. Если в колоде 52 карты, то каждая карта с вероятностью 1/52 занимает место, уже занятое такой же картой. Так как общее число возможных мест для каждой карты равно 52, то среднее число совпадений равно 52·1/52 = 1. Таким образом, в среднем происходит только одно совпадение. Если бы колода состояла из