При такой постановке, поскольку p > 1/2, мы можем использовать результат задачи 35. Мы уже знаем, что если игрок M играет против банка с неограниченными ресурсами, то становится банкротом с вероятностью (q/p)>m. По пути к банкротству он либо получает сумму m + n (n теперь конечно) либо никогда не будет иметь ее на руках. Пусть вероятность того, что он проиграет игроку N, равна Q (это событие равносильно выигрышу N у банка с неограниченным капиталом без достижения игроком M суммы m + n). Тогда
(p/q)>m = Q + (1 − Q)·(q/p)>m+n, (1)
поскольку Q есть доля последовательностей, для которых поглощение произойдет до достижения точки m + n, а 1 − Q — доля тех последовательностей, которые достигают положения m + n; (q/p)>m+n есть доля последовательностей, поглощаемых в нуле, если игра продолжается неограниченно долго. Тогда P = 1 − Q есть вероятность того, что игрок M выиграет. Из (1) находим
P = [1 − (q/p)>m] / [1 − (q/p)>m+n]. (2)
В нашем случае p = 2/3, q = 1/3, m = 1, n = 2 и P = 4/7, и, значит, лучше быть вдвое более искусным в игре, чем вдвое более богатым.
Если q = p = 1/2, то P в уравнении (2) принимает неопределенную форму 0/0. Применение правила Лопиталя дает
P = m / (m + n). (3)
Таким образом, если игроки равноискусны, то шансы на выигрыш игрока M равны 1/3, а его средний выигрыш равен 1/3·2 + 2/3·(-1) = 0. Игра в этом случае безобидна, т. е. математическое ожидание выигрыша равно нулю для каждого игрока.
37. Решенuе задачu о смелой игре и осторожной игре
Смелая игра (по терминологии Л. Дубинса и Л. Сэвиджа: L. Dubins and L. Savage, How to gamble if you must, 1963), т. е. ставка 20 долларов сразу, дает игроку вероятность выигрыша равную 18/38 ≈ 0.474. Вычисление вероятности выигрыша при осторожной игре по доллару за одну партию сводится к задаче о разорении игрока с
m = 20, n = 20, p = 18/38, q = 20/38.
Подставляя эти значения в формулу для вероятности выигрыша M, получаем
P = [1 − (20/18)>20] / [1 − (20/18)>40] = [8.23 − 1] / [67.65 − 1] ≈ 0.108.
Итак, осторожная игра уменьшает шансы игрока на выигрыш вчетверо по сравнению сосмелой игрой.
Интуитивное объяснение этого явления состоит в том, что смелая игра есть также быстрая игра, а быстрая игра сокращает время игры против казино, которая не является безобидной. Впрочем, мы видели, что интуиция, основанная на средних, не всегда ведет к правильным выводам о вероятностях. Дубинс и Сэвидж замечают, что им неизвестно доказательство, основанное на подобных интуитивных рассуждениях. Однако в нашем специальном случае удвоения начальной суммы при игре в «красное и черное» нижеследующие пояснения Сэвиджа основываются именно на этой идее.
