Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 26

Чтобы получить численные результаты для больших значений m, где r = m, можно использовать таблицы[10] или формулу Стирлинга. Последняя дает

Почему мы пользуемся предположением о распределении Пуассона? Отчасти потому, что задача допускает тогда красивое решение, а отчасти потому, что распределение действительно может быть близким к пуассоновскому, так как булочник имеет много клиентов, каждый из которых довольно редко покупает кекс. Если читателя беспокоит колебание числа покупок, связанное с разными днями недели, то будем говорить лишь о вторниках в течение лета.

Большинство обычно считает, что искомая вероятность равна 1/2.

Вероятность продать ровно r кексов есть e^>−20·20^>r/r!, как известно из задачи 28. Заменив 20 на m, мы лучше выясним структуру задачи. Сумма вероятностей закона Пуассона есть ∑e^>−m·m^>r/r! или

Нашей целью является выделение слагаемых, отвечающих нечетным количествам покупок. Известно, что

Сумма выражений (A) и (B) дает нам удвоенную вероятность четного числа кексов, так как члены с нечетными степенями m войдут в сумму с нулевыми коэффициентами, а члены с четными степенями — с коэффициентом 2. Следовательно, деля на 2, получим вероятность четного числа покупок (1 + e^>−2m)/2. При m = 20 этот результат весьма близок к 0.5, так как число e^>−40 мало́. С другой стороны, если булочник продает в среднем один специальный торт ко дню рождения за одну поездку, то вероятность того, что будет продано четное число таких тортов, равняется приблизительно 0.568.

В задачах такого рода предполагается обычно, что 29 февраля не может быть днем рождения, и что всем остальным дням в году отвечает одинаковая вероятность.

Решим несколько более общую задачу. Пусть N обозначает число равновероятных дней, r — число людей. Вычислим вероятность того, что все эти люди родились в разные дни. Тем самым мы найдем и вероятность того, что хотя бы два человека родились в один и тот же день.

Для первого человека имеется N возможных дней, для второго — (N − 1), не совпадающих с днем рождения первого, для третьего — (N − 2), отличных от дней рождения первых двух и т. д., для r-го человека существует N − r + 1 возможностей. Общее число вариантов, при которых нет одинаковых дней рождения, равно

N·(N − 1)·...·(N − r + 1)          (