Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 27

Для определения интересующей нас вероятности надо найти еще общее число всевозможных расстановок дней рождения. Для каждого человека существует ровно N возможных дней, и общее число различных распределений дней рождения r людей равно

N^>r.          (2)

Так как, согласно предположению, все дни равновероятны, то искомая вероятность равна отношению (1) и (2). Таким образом, вероятность того, что имеются по крайней мере два одинаковых дня рождения, равна

P_>r = 1 − N·(N − 1)·...·(N − r + 1)/N^>r.          (3)

Точное вычисление значения (3) потребовало бы при больших значениях N таких, как 365, значительного числа выкладок, чего в нашем случае можно избежать за счет использования таблицы логарифмов, представляя искомую вероятность в виде N! / (N − 2)!·N^>r. Имеем

Небольшая работа с таблицами показывает, что при r = 23 вероятность по крайней мере одного совпадения дня рождений равна 0.5073, а при r = 22 эта вероятность равна 0.4757. Таким образом, r = 23 — наименьшее целое число, при котором имеет смысл заключать равноправное пари. Для большинства кажется удивительным, что это число довольно мало́, так как интуитивно ожидаемым ответом кажется 365/2. Мы обсудим это явление в следующей задаче, а пока заметим вот что:

Во-первых, следующая таблица дает значения вероятности парных дней рождения для различных значений R:

Во-вторых, вспомним, что

Если x достаточно мало́, то члены порядка, большего, чем x, дают в сумму пренебрежимо малый вклад, и e^>−x приближенно равно 1 − x, или 1 − x можно при малых x заменить на e^>−x. Заметим, что

является произведением множителей вида (N − k)/N, где k много меньше N. Эти множители могут быть записаны в виде 1 − k/N, где 0 ≤ k ≤ r. Поэтому

Для исследования этой асимптотической формулы положим r = 23 и получим что-то около 0.500 вместо 0.507, или, положив r·(r − 1)/2·365 равным −lg(0.5) ≈ 0.693, найдем отсюда r.

В-третьих, предположим, что задача модифицирована таким образом: найти вероятность того, что хотя бы два дня рождения совпадают или приходятся на два дня, следующих один за другим (1 января следует за 31 декабря). Решение такой задачи предоставляется читателю.