Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями | страница 25

При n, стремящемся к бесконечности, все слагаемые в правой части (2), кроме 1, стремятся к нулю. Аналогично, для r-го слагаемого разложения (1) множитель, зависящий от n, стремится к единице, а все слагаемое с точностью до знака, к

Таким образом, с ростом r выражение

который является одним из способов вычисления e^>−1.

Если бы в каждом ящике было две фальшивые монеты, то искомая вероятность, равная

Каждая из проверяемых монет изымается из нового ящика и с вероятностью m/n фальшива. Так как монеты извлекаются независимым образом, то искомая вероятность отвечает биномиальному распределению.

Исследуем поведение этой вероятности при возрастании n и фиксированных r и m.

Для этого запишем ее в виде

С ростом n 1/r! и m^>r не меняются, а

n·(n − 1)· ... ·(n − r + 1)/n^>r стремится к 1, как указано в задаче 27,

Сумма этих вероятностей равна:

Ряд, записанный в скобках, является разложением e^>m.

Распределение, задаваемое вероятностями

называется законом Пуассона и служит хорошей математической моделью для многих физических процессов.

Разобьем поверхность пластинки на n малых равных площадок. Для каждой площадки вероятность колонии равна p, а их среднее число есть np = 3. Нас интересуют лишь маленькие площадки. Когда n растет, p становится малым, так как площадь участков стремится к нулю. Вместо того, чтобы считать среднее число колоний равным 3, будем рассматривать общее среднее m = np. Может показаться, что на некоторых площадках встречаются две или больше колоний, но эти сомнения можно оставить, потому что площадки столь малы, что едва умещают одну колонию. Тогда вероятность ровно r колоний на n маленьких площадках равна

где p = m/n. Заменим p на m/n в этой формуле. Полученное выражение уже знакомо нам по задаче 28. Пусть n → ∞. Тогда мы снова приходим к распределению Пуассона

При m = 3 и r = 3 получаем значение 0.224.

То, что m действительно является средним этого распределения, проверяется непосредственно: