Гильберт вряд ли догадывался, что между шестой и десятой проблемой существует тонкая взаимосвязь. В основе всех его рассуждений лежало настолько фундаментальное для него положение, что он даже не сформулировал его на своей лекции в виде проблемы или вопроса: Гильберт неизменно исходил из того, что у каждой математической задачи есть решение. Может быть, нам не хватает ума, трудолюбия или времени, чтобы его найти, но в принципе всякая математическая проблема должна быть разрешимой. Так полагал Гильберт. Для него это была абсолютная истина.
Однако сегодня математикам ясно: Гильберт стоял на зыбкой почве. Да, есть связь между шестой проблемой Гильберта, которая имеет отношение к теории вероятностей, и его десятой проблемой – касательно целочисленных решений для алгебраических уравнений. И эта связь приводит к неожиданному и даже в чем-то устрашающему результату. Оказывается, случайность таится в самом сердце традиционнейшей отрасли чистой математики – теории чисел.
Как выясняется, ответы на простые и ясные математические вопросы не всегда просты. Так, в элементарной теории чисел вопросы, затрагивающие диофантовы уравнения, способны порождать ответы совершенно случайного характера – с виду не черные и не белые, а серые. Ответы случайны, ибо единственный путь доказательства сводится к постулированию каждого ответа как добавочной независимой аксиомы. Эйнштейн ужаснулся бы, узнав, что Бог преспокойно играет в кости не только в квантовой и классической физике, но и в чистой математике.
Откуда столь неожиданный вывод? Вернемся к Гильберту. Он утверждал, что если вы построили формальную систему аксиом, должна существовать механическая процедура для определения того, является ли то или иное математическое доказательство верным, и эти аксиомы должны обладать полнотой и внутренней непротиворечивостью. Внутренняя непротиворечивость системы аксиом означает, что вы не можете доказать противоположные утверждения. Полнота системы означает, что вы можете доказать истинность или ложность любого утверждения, существующего в ее рамках. Из этого следует, что механическая процедура, о которой мы говорили, должна гарантировать: истинность всех математических утверждений можно доказать или опровергнуть механическим путем.
Есть красочное объяснение того, как работает эта механическая процедура. Речь идет о так называемом алгоритме Британского музея[11]. В рамках мысленного эксперимента (неосуществимого на практике, т. к. он требует бесконечного времени) систему аксиом, выраженных формальным языком математики, прогоняют через все возможные доказательства, причем порядок их следования выстроен согласно их размерам и лексикографической структуре (просто для того, чтобы соблюдать какой-то порядок). Вы устанавливаете, какие из этих доказательств верны, т. е. какие из них отвечают определенным правилам и могут быть приняты как справедливые. В принципе, если набор аксиом обладает внутренней непротиворечивостью и полнотой, можно определить истинность/ложность любой соответствующей теоремы. От математиков больше не требуется изобретательность, талант или вдохновение для того, чтобы доказывать теоремы. Математика становится механической.
