Бросим последний (в этой книге) взгляд на математику случая. Мы отправляемся в мрачные глубины теории чисел. Осторожно, здесь таятся чудовища: совершенно непредсказуемые числа, не позволяющие нам доказать некоторые теоремы. Чудовищ открыл Грегори Чайтин. Он постарается объяснить, почему некоторых так встревожило это открытие.
Физики давно обсуждают вопрос предсказуемости. В начале XIX века классические детерминистические законы Исаака Ньютона заставили Пьера Симона де Лапласа решить, что будущее Вселенной, возможно, навсегда предопределено.
А потом появилась квантовая механика. Ее теории лежат в основе нашего теперешнего понимания природы вещества. Она описывает очень маленькие объекты – например, электроны и другие элементарные частицы. Одной из самых противоречивых особенностей квантовой механики стало то, что она ввела в физику вероятность и случайность как основополагающие факторы. Как известно, это очень расстроило Альберта Эйнштейна, который возмущенно заявил: мол, Бог не играет в кости.
А несколько десятилетий спустя научный мир был снова удивлен: исследования в области нелинейной динамики показали, что даже классическая ньютоновская физика зиждется на случайности и непредсказуемости. Так случайность и непредсказуемость начали казаться каким-то объединяющим физическим принципом.
Кажется, этот же принцип распространяется и на математику. Некоторые теоремы, связанные с теорией чисел, невозможно доказать, поскольку, задавая необходимые вопросы, мы получаем результаты, эквивалентные результатам случайного подбрасывания монетки.
Мои выкладки шокировали бы многих математиков XIX века, убежденных, что уж математические истины всегда можно доказать. Например, в 1900 году математик Дэвид Гильберт прочел ставшую знаменитой лекцию, где перечислил 23 нерешенные проблемы как вызов для математиков нового века. Шестая проблема касалась установления фундаментальных универсальных истин – аксиом – в физике. Один из ее аспектов затрагивал теорию вероятностей. Для Гильберта вероятность выступала просто как практический инструмент, берущий начало в физике и помогающий описывать реальный мир, где доступно лишь ограниченное количество информации.
Десятая проблема Гильберта касалась решения так называемых диофантовых уравнений (названных так в честь древнегреческого математика Диофанта). Это алгебраические уравнения, имеющие дело лишь с целыми числами. Гильберт спрашивает: «Существует ли способ определить, будет ли алгебраическое уравнение иметь целочисленное решение?»
