Конечно же, на самом деле математика совсем не такая. Курт Гёдель, австрийский логик, и Алан Тьюринг, отец компьютера, показали: невозможно получить и аксиоматическую математическую теорию (обладающую внутренней непротиворечивостью и полнотой), и механическую процедуру, призванную решать, каким является произвольное математическое утверждение – истинным или ложным, доказуемым или недоказуемым.
Гёдель первым вывел хитроумное доказательство так называемой теоремы о неполноте, основываясь на теории чисел. Но мне кажется, что вариант той же теоремы, предложенный Тьюрингом, более фундаментален и удобнее для понимания. Тьюринг воспользовался компьютерным языком (он говорил об инструкциях, т. е. о программе, необходимой компьютеру для решения задач), дабы показать: не существует механической процедуры, которая позволила бы определить, прекратит ли когда-нибудь произвольная программа свои расчеты, выдав некий конечный результат и остановив свою работу.
Чтобы показать, что эту так называемую проблему остановки (проблему останова) невозможно решить в принципе, запустим программу на машине Тьюринга, которая представляет собой математическую идеализацию цифрового компьютера, не ограниченную временем. (Программа должна быть самоподдерживающейся – все данные должны поступать из самой же программы.) Далее зададимся простым вопросом: будет ли программа работать вечно или же наступит момент, когда она скажет «я закончила» и остановит работу?
Тьюринг продемонстрировал: для того, чтобы заранее определить, остановится ли когда-нибудь та или иная конкретная программа, не существует никакого набора инструкций, которые можно ввести в компьютер, никакого алгоритма. Непосредственно отсюда как раз и вытекает гёделевская теорема о неполноте: если нет механической процедуры для разрешения проблемы остановки, то нет и набора соответствующих аксиом, обладающих полнотой. Если бы они существовали, они дали бы нам механическую процедуру перебора всех возможных доказательств того, остановятся ли программы (хотя это, разумеется, заняло бы долгое время).
Чтобы сделать свой вывод о случайности в математике, я просто взял результат Тьюринга и изменил его формулировку. Получился своего рода математический каламбур. Хотя проблема остановки нерешаема, можно рассмотреть вероятность того, остановится ли когда-нибудь случайно выбранная программа. Начнем с мысленного эксперимента, где используется обычный компьютер «общего назначения», который, если дать ему достаточно времени, способен проделать работу любого компьютера. Иными словами, это универсальная машина Тьюринга.
