Кантор отлично понимал, что речь идет о расширении ряда целых чисел за бесконечное, то есть об операции совершенно необычной с точки зрения привычных математических и тем более обыденных житейских представлений.
— Я нисколько не скрываю от себя, — говорил Кантор своим друзьям, — что, решаясь на это, я вступаю в конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность.
Речь шла о взглядах, укоренившихся еще со времен Аристотеля, то есть об отношении к математической бесконечности как к бесконечности, становящейся потенциальной, которая может стать меньше или больше любой заданной величины, но которая в то же время сама всегда остается величиной конечной.
Даже великий Гаусс считал, что конечный человек не отважится рассматривать бесконечное как нечто данное и доступное его привычной интуиции.
«…Прежде всего я протестую против пользования бесконечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется — писал он в одном из своих писем. — Бесконечное является лишь facon de parber (способ выражения), между тем как речь идет собственно о пределах, к которым известные отношения приближаются довольно близко, тогда как другим предоставляется возрастать без ограничения».
— Говоря о «конечности рассудка», — возражал по этому поводу Георг Кантор, — молчаливо предполагают, что его способность образования чисел ограничивается только конечными числами. Но если окажется, что рассудок в состоянии также в известном смысле определять и отличать друг от друга бесконечные числа, то придется приписать человеческому рассудку предикат «бесконечный», что, по моему мнению, единственно правильно. Как ни ограничена человеческая природа, к ней все-таки прилипло очень много от бесконечного.
Если говорить совершенно строго, то потенциальная бесконечность абсолютно непригодна для решения практических задач. Ведь потенциальная бесконечность — это «вечно незавершенный процесс».
Другими словами, одно дело осуществимость потенциальной бесконечности в теории и совсем другое на практике. Воспользуемся современным примером из области теоретической кибернетики. С точки зрения этой науки осуществим любой алгоритм, даже если он требует бесконечного числа шагов. Но реальная электронно-вычислительная машина не в силах решить подобную задачу. Такой расчет лежит за пределами ее возможностей — ведь она обладает всего лишь конечной памятью и способна осуществить хотя и очень большое, но конечное число операций.
