Труд Больцано «Парадоксы бесконечного» вышел в свет в 1855 году, спустя три года после смерти ученого. Правда, это было скорее философское, нежели математическое исследование. Попытки Больцано образовать бесконечные множества все более высоких мощностей не увенчались успехом.
Решить эту задачу удалось только выдающемуся немецкому математику Георгу Кантору (1845–1918).
В 1883 году Кантор опубликовал статью «О бесконечных линейных точечных многообразиях». Как и книга Больцано, это было тоже философское сочинение с математическим уклоном, на что прямо указывал подзаголовок «Математически-философский опыт в учении о бесконечности».
По его автор поставил перед собой сложнейшую задачу: не только осмыслить философское содержание понятия бесконечности, но и отыскать математические средства для его описания.
Кантор смело отбросил ставший уже чем-то традиционным страх математиков перед операциями с бесконечностью. Он свел понятие бесконечности к понятию бесконечных множеств и первым планомерно и последовательно занялся изучением их свойств.
Таким образом, основным объектом исследования в новой теории стало множество — совокупность объектов, отвечающих определенному условию, объединенных некоторым общим признаком.
«Под многообразием или множеством, — писал Кантор, — я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. с. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое, с помощью некоторого закона».
Скажем, множество четных чисел можно, по Кантору, определить так: это совокупность всех целых чисел, которые без остатка делятся на два.
Подобным же способом можно образовать и другие множества, как конечные, так и бесконечные, состоящие из тех или иных объектов. Например, множество всех людей, владеющих французским языком, или множество всех звезд с поверхностной температурой выше 6 тысяч градусов, или множество всех окружностей, обладающих общим центром.
Пожалуй, ни до Кантора, ни после него никто из математиков не брался с такой смелостью за проблему бесконечности и не вкладывал столько сил в ее решение.
«Я отлично знаю, что рассматриваемая мною тема, — писал Кантор, — была во все времена объектом самых различных мнений и толкований. Что ни математики, ни философы не пришли здесь к полному согласию. Поэтому я очень далек от мысли, что я могу сказать последнее слово в столь трудном, сложном и всеобъемлющем вопросе, как проблема бесконечности. Но так как многолетние занятия этой проблемой привели меня к определенным убеждениям и так как в дальнейшем ходе моих работ эти последние не поколебались, но лишь укрепились, то я счел своей обязанностью систематизировать их и опубликовать».
