Впрочем, математики находили выход из положения: совсем не обязательно достигать бесконечности: на каком-то шаге можно остановиться и вести все расчеты с определенной степенью точности, достаточной, чтобы решение имело практический смысл. Скажем, при вычислении числа π то есть отношения длины окружности к ее поперечнику, вовсе не обязательно находить бесконечное число знаков после занятой. Вполне можно ограничиться, например, пятью знаками — не сотнями и не десятками знаков, а пятью или даже четырьмя. Для практических математических операций этого вполне достаточно.
— Потенциальная бесконечность, — признавал и Георг Кантор, — оказалась весьма хорошим и в высшей степени ценным оружием и в математике и в естествознании.
Но теория множеств, развитая Кантором, по существу, имеет дело с актуальной бесконечностью. С этой целью Кантор обобщил понятие обычного числа до понятия трансфинитного числа. Он сделал попытку создать математический аппарат для описания актуально бесконечных множеств.
Например, первое трансфинитное число ω Кантор определяет как наименьшее из всех чисел, больших любого натурального числа. При этом он использовал одно из определений предела: Т является пределом {а>n}, если Т наименьшее из чисел, больших каждого из а>n. Последующие трансфинитные числа получаются из ω путем прибавления единицы: ω + 1, ω + 2, ω + 3… Трансфинитное число следующего, второго класса ω2 есть наименьшее из всех чисел, больших чисел вида ω + n и т. д.
Счетные множества имеют мощность первого числового класса. Следующая мощность может быть приписана всем числам второго класса и т. д. Так строится шкала последовательно увеличивающихся мощностей бесконечных множеств.
«Все так называемые доказательства против возможности актуально-бесконечных чисел по существу ошибочны, — писал Кантор в одной из своих работ. — Потому что они заранее приписывают или скорее навязывают бесконечным числам все свойства конечных. Между тем, бесконечные числа должны образовать благодаря своей противоположности конечным числам совершенно новый числовой вид, свойства которого вполне зависят от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола или наших предрассудков».
Главной отличительной особенностью теории Кантора явилось то обстоятельство, что бесконечные множества рассматривались в ней в завершенном виде как совокупность бесконечного числа всех содержащихся в них элементов.
«Эта бесконечность элементов, — писал советский академик Н. Лузин, — „схваченная“ вместе в одно целое данным характеристическим свойством, является тем самым уже данной вся целиком, уже сформированной и неизменной и, следовательно, как бы уже неподвижной и замкнутой в себе».
