Бесконечность стали всячески обходить, прибегая для этого ко всевозможным логическим ухищрениям.
Когда Эвклиду, например, потребовалось сформулировать свою знаменитую теорему о множестве простых чисел, он вышел из затруднения следующим образом; «простых чисел существует больше всякого предложенного количества простых чисел».
И все же математики оказались в затруднительном положении — они тем самым лишились возможности вычислять площади и объемы. Надо было найти новый способ решения этой задачи без помощи бесконечности.
Такой способ — метод черпков — был разработан Евдоксом и Архимедом. Впоследствии, в XVII веке, он получил название метода исчерпывания.
В основе метода черпков лежала аксиома Евдокса— Архимеда: если из какой-либо величины отнять ее половину (или больше), а затем с каждым остатком поступать так же, то через конечное число шагов можно получить величину меньше любой заданной.
Однако и метод черпков, увы, обладал весьма существенным недостатком. Его можно было применять только в тех случаях, когда уже было известно, что именно требуется доказать. А для этого надо было воспользоваться «неделимыми» Демокрита…
Апории Зенона обнаружили и еще одну трудность. В ту пору в древнегреческой математике было распространено представление о том, что конечная величина есть совокупность бесконечного множества непротяженных точек. В частности, такой концепции, видимо, придерживались ранние пифагорейцы. Частями беспредельного для них были не материальные атомы, а геометрические точки.
Но если тело представлено бесконечной совокупностью неделимых точек, не имеющих измерений, то их сумма равна нулю. А это значит, что тело, имеющее измерение, лишено измерения.
Если же неделимые точки имеют измерение, то тело конечной величины оказывается бесконечно большим.
Много столетий спустя известный исследователь истории математики Д. Стройк написал, что парадоксы Зенона вызвали такое волнение, что и сейчас можно наблюдать некоторую рябь.
При этом различные ученые по-разному относились и к самому Зенону, и к его апориям.
Так, известный французский математик Поль Леви писал о парадоксе «Ахиллес»:
«Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях вполне разумные, могут оказаться смущенными этим парадоксом, и ответ, который я только что наметил, есть тот самый ответ, который я дал, когда мне было одиннадцать лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс… „Этот грек был идиотом“. Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, может быть, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но мое удивление перед умами, смущаемыми понятиями такого рода, осталось тем же».
