Известный узбекский алгебраист первой трети IX века Мухаммед бен Муса ал-Хорезми увековечил свое имя в науке главным образом благодаря двум математическим трактатам: один по алгебре — «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», а другой по арифметике — «Арифметика».
Ал-Хорезми, как видный ученый своего времени, жил при дворе халифа ал-Мамуны (813–833), покровителя и ценителя наук, по велению которого на арабский язык переводились труды древнегреческих классиков и индийских ученых. Именно по указанию ал-Мамуны ал-Хорезми сделал извлечение из астрономических таблиц индийских математиков, а также путем астрономических наблюдений в Багдаде и Дамаске исправил нужные для астрономии таблицы хорд Птолемея. Кроме того, он принимал участие при измерении градуса земного меридиана и составил ряд трактатов, в том числе «Трактат по астролябии» и «Трактат о солнечных часах».
Свой замечательный трактат по алгебре ал-Хорезми написал также по указанию ал-Мамуны около 830 года как учебное руководство для юношества. В предисловии к своей книге, отзываясь с похвалой о своем покровителе ал-Мамуне, ал-Хорезми отмечает, что задался целью написать краткое сочинение о вычислениях при посредстве «восстановления» (ал-джебр) и «сопоставления» (вал-мукабала). По его словам, он ограничился изложением того, что является наиболее легким и понятным в арифметике, с чем люди сталкиваются на каждом шагу в различных денежных сделках, в торговых делах, в вопросах межевания земли и т. д. Таким образом, алгебраическое сочинение ал-Хорезми преследовало цель элементарного изложения важных сведений, носящих прикладной характер.
Сочинение преимущественно посвящается решению уравнений первой и второй степени. В нем автор рассматривает «шесть случаев»:
1) x>2=ах; 4) x>2+a=b;
2) x>2=а; 5) x>2+a = bx;
3) ах=b; 6) ax+b=х>2.
Все эти случаи ал-Хорезми рассматривает на числовых примерах. Для решения подобных уравнений он предложил метод «восстановления» (ал-джебр) и «сопоставления» (вал-мукабала). Например, уравнение
посредством операции «ал-джебр» принимает вид
а это уравнение после операции «вал-мукабала» приводится к виду
