2a. Пространство. Время. Движение | страница 46

синусоидаль­ных волн разной длины волн (или частоты). Таким образом, мы знаем, как представить заданную силу Fв виде синусоидальных волн, поэтому решение х можно представить в виде суммы F синусоидальных волн, каждая из которых умножается на эф­фективное отношение х к F.Такой метод решения называют ме­тодом преобразования, Фурье, или анализом (разложением) Фурье. Мы не будем сейчас делать такого разложения; пока до­статочно только идеи.

Очень интересен другой способ решения сложных задач. Предположим, что кто-то после больших умственных усилий решил заданную нам задачу в случае одной частной силы — импульсной. Сила внезапно и быстро действует на систему, затем выключается и все опять спокойно. Нам теперь достаточно решить такую задачу лишь в случае единичной силы, потом умножением на подходящее число мы сможем получить любые силы. Мы знаем, что осциллятор откликается на импульсную силу затухающими колебаниями. А как быть в случае другой силы, например силы, изображенной на фиг. 25.4?

Фиг. 25.4. Сложную силу можно представить как последователь­ность коротких импульсов.

Такую силу можно представить в виде последовательных ударов молотком. Сначала всюду стоит тишина, потом кто-то берет в руки молоток и внезапно раздаются равномерные уда­ры — удар, удар, удар, удар, ... и опять все тихо. Иначе говоря, непрерывно действующую силу можно представить в виде ряда последовательных импульсов, быстро следующих один за дру­гим. Мы знаем последствия одного импульса, а последствием серии импульсов будет ряд затухающих колебаний; нарисуйте кривую колебаний для первого импульса, затем, немного от­ступя, такие же кривые для второго импульса, третьего и т. д. Потом сложите все кривые. Таким образом математически можно представить полное решение в случае произвольной силы, если можно решить задачу для импульса. Ответ для любой силы можно получить путем интегрирования. Это метод функции Грина. Функция Грина — это отклик системы на отдельный импульс, а метод функции Грина — это метод ана­лиза действия силы суммированием откликов на импульсы.

Физические принципы, лежащие в основе обоих методов, очень просты; они просто напрашиваются, если понять смысл линейного уравнения, но математические методы содержат до­вольно сложные интегрирования и т. д.; мы мало подготовлены, чтобы прямо атаковать эти методы. К этому вы еще вернетесь, когда поднабьете руку в математике. Но сама идея методов, право, очень проста.