+bx>2, удовлетворяет уравнению. Если нам посчастливится найти три решения, то мы увидим, что любая комбинация трех решений снова удовлетворяет уравнению, и т. д. Поток таких решений можно ограничить независимыми решениями; в случае осциллятора мы получили только два таких решения. Число независимых решений в общем случае зависит от того, что называется числом степеней свободы. Мы не будем сейчас подробно обсуждать этот вопрос, но в случае дифференциального уравнения второго порядка имеются лишь два независимых решения. Если мы найдем оба эти решения, то можно построить общее решение уравнения.
Посмотрим, что будет, когда на систему действует внешняя сила. Предположим, что нам встретилось уравнение
L(x)=F(t) (25.6)
и мы нашли его частное решение. Назовем его решением Джо x>Д, т. е. L(x>Д)=F(t). Хотелось бы найти еще одно решение этого уравнения. Добавим к решению Джо какое-нибудь решение свободного уравнения (25.5), например x>1. Тогда, вспомнив о (25.3), получим
L(x>Д+x>l)=L(x>Д)+L(x>1)=F(t)+0=F(t). (25.7)
Следовательно, добавив к решению уравнения (25.6) любое «свободное» решение, мы получим новое решение. Свободное решение называют еще переходным решением.
Если неожиданно включить внешнюю силу, то движение осциллятора не сразу будет описываться равновесным (синусоидальным) решением: сначала к нему будут примешиваться переходные решения, которые, если подождать подольше, в конце концов «вымрут». Равновесное решение «выживет», потому что только оно соответствует внешней силе. В конце концов это будет единственным решением, но начальные движения системы зависят от того, какие обстоятельства сопутствуют включению силы.
§ 2. Суперпозиция решений
Перейдем теперь к другой интересной проблеме. Предположим, что нам задана какая-нибудь внешняя сила F>a(например, периодическая сила с частотой w=w>а, но наши выводы будут верны для любой зависимости силы от времени) и мы нашли движение, соответствующее этой силе (переходные движения можно учитывать или не учитывать, это неважно). Предположим, что мы решили еще одну задачу — нашли движение в случае действия силы F>b. После этого предположим, что кто-то вбежал в комнату и сказал: «На контрольной задают задачу с силой F>a+F>b. Что нам делать?» Конечно, мы решим эту задачу — ведь мы сразу обнаружим одно замечательное свойство: сумма решений х>аи х>b, получаемых в том случае, если брать силы по отдельности, будет решением новой задачи. Для этого надо только вспомнить о (25.3):
