2a. Пространство. Время. Движение | страница 29



и 2 разность потенциалов заставит заряды двигаться по цепи, тогда на концах каждого элемента цепи тоже возникает


разность потенциалов: на концах индуктивности V>L=L(d>2q/dt>2), на сопротивлении V>R=R(dq/dt), а на емкости V>c=q/C.

Фиг. 23.5. Электрический ко­лебательный контур, состоящий из сопротивления, индуктивности и емкости.


Сумма этих напряжений дает нам полное напряжение


Мы видим, что это уравнение в точности совпадает с механиче­ским уравнением (23.6); будем решать его точно таким же спо­собом. Предположим, что V(t) осциллирует; для этого надо со­единить цепь с генератором синусоидальных колебаний. Тогда можно представить V(t) как комплексное число V, помня, что для определения настоящего напряжения V(t) это число надо еще умножить на exp(iwt) и взять действительную часть. Анало­гично можно подойти и к заряду q, а поэтому напишем уравнение, в точности повторяющее (23.8): вторая производная q— это (iw)>2q, а первая — это (iw)q. Уравнение (23.17) перейдет в


или

последнее равенство запишем в виде



где w>2>0=1/LC, a g=R/L. Мы получили тот же знаменатель, что и в механической задаче, со всеми его резонансными свойст­вами! В табл. 23.1 приведен перечень аналогий между элект­рическими и механическими величинами.

Таблица 23.1 · МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ


Еще одно чисто техническое замечание. В книгах по электри­честву используют другие обозначения. (Очень часто в книгах на одну и ту же тему, написанных людьми разных специаль­ностей, используются различные обозначения.) Во-первых, для обозначения Ц-1 используют букву j, а не i (через i должен обозначаться ток!). Во-вторых, инженеры предпочитают соотношение между V и I, а не между V и q. Они так больше привыкли. Поскольку I=dq/dt=iwq, то вместо q можно под­ставить I/iw, и тогда

Можно слегка изменить исходное дифференциальное уравнение (23.17), чтобы оно выглядело более привычно. В книгах часто попадается такое соотношение:

Во всяком случае, мы находим, что соотношение (23.19) между напряжением V и током I то же самое, что и (23.18), и от­личается только тем, что последнее делится на iw. Комп­лексное число R +iwL+1/iwC инженеры-электрики часто называют особым именем: комплексный импеданс Z. Введение новой буквы позволяет просто записать соотношение между током и сопротивлением в виде V=ZI. Объясняется это при­страстие инженеров тем, что в юности они изучали только цепи постоянного тока и знали только сопротивления и закон Ома: