2a. Пространство. Время. Движение | страница 29
разность потенциалов: на концах индуктивности V>L=L(d>2q/dt>2), на сопротивлении V>R=R(dq/dt), а на емкости V>c=q/C.
Фиг. 23.5. Электрический колебательный контур, состоящий из сопротивления, индуктивности и емкости.
Сумма этих напряжений дает нам полное напряжение
Мы видим, что это уравнение в точности совпадает с механическим уравнением (23.6); будем решать его точно таким же способом. Предположим, что V(t) осциллирует; для этого надо соединить цепь с генератором синусоидальных колебаний. Тогда можно представить V(t) как комплексное число V, помня, что для определения настоящего напряжения V(t) это число надо еще умножить на exp(iwt) и взять действительную часть. Аналогично можно подойти и к заряду q, а поэтому напишем уравнение, в точности повторяющее (23.8): вторая производная q— это (iw)>2q, а первая — это (iw)q. Уравнение (23.17) перейдет в
или
последнее равенство запишем в виде
где w>2>0=1/LC, a g=R/L. Мы получили тот же знаменатель, что и в механической задаче, со всеми его резонансными свойствами! В табл. 23.1 приведен перечень аналогий между электрическими и механическими величинами.
Таблица 23.1 · МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Еще одно чисто техническое замечание. В книгах по электричеству используют другие обозначения. (Очень часто в книгах на одну и ту же тему, написанных людьми разных специальностей, используются различные обозначения.) Во-первых, для обозначения Ц-1 используют букву j, а не i (через i должен обозначаться ток!). Во-вторых, инженеры предпочитают соотношение между V и I, а не между V и q. Они так больше привыкли. Поскольку I=dq/dt=iwq, то вместо q можно подставить I/iw, и тогда
Можно слегка изменить исходное дифференциальное уравнение (23.17), чтобы оно выглядело более привычно. В книгах часто попадается такое соотношение:
Во всяком случае, мы находим, что соотношение (23.19) между напряжением V и током I то же самое, что и (23.18), и отличается только тем, что последнее делится на iw. Комплексное число R +iwL+1/iwC инженеры-электрики часто называют особым именем: комплексный импеданс Z. Введение новой буквы позволяет просто записать соотношение между током и сопротивлением в виде V=ZI. Объясняется это пристрастие инженеров тем, что в юности они изучали только цепи постоянного тока и знали только сопротивления и закон Ома: